Question

如图，AB是圆O的直径，CD与圆O相切于点C，AE⊥CD于E，延长BC与AE交于点F，且AF=BF，求∠A的度数．

Answer 1

分析：由CD为圆O的切线，根据切线的性质得到OC垂直于CD，又AE也垂直于CD，根据平面内垂直于同一条直线的两直线平行，得到OC平行AF，因为AB为直径，所以O为AB中点，根据平行线等分线段定理得到C为BF中点，则OC为三角形ABF的中位线，根据中位线定理得到OC等于AF的一半，由OC等于AB的一半，得到AB与AF相等，又AF与BF相等，得到三角形ABF为等边三角形，进而得到∠A的度数．

解答：解：∵CD与圆O相切，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD=90°，（2分）
∵AE⊥CD，∴∠AED=90°，
∴OC∥AF，（2分）
∵O是AB的中点，
∴OC=

1

2

AF，（2分）
AF=2OC=AB，（2分）
∵AF=BF，
∴AF=BF=AB，
∴△ABF是等边三角形，
∴∠A=60°（2分）

点评：本题考查了圆的切线性质、等边三角形的判断与性质及三角形中位线定理等知识．运用切线的性质及平行线等分线段定理得到△ABF是等边三角形是本题的关键．