Question

如图，已知平面直角坐标系，A、B两点的坐标分别为A（2，-3），B（4，-1）．
（1）若P（p，0）是x轴上的一个动点，则当p=

 

时，△PAB的周长最短；
（2）若C（a，0），D（a+3，0）是x轴上的两个动点，则当a=

 

时，四边形ABDC的周长最短；
（3）设M，N分别为x轴和y轴上的动点，请问：是否存在这样的点M（m，0）、N（0，n），使四边形ABMN的周长最短？若存在，请求出m=

 

，n=

 

（不必写解答过程）；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据题意，设出并找到B（4，-1）关于x轴的对称点是B'，其坐标为（4，1），进而可得直线AB'的解析式，进而可得答案；
（2）过A点作AE⊥x轴于点E，且延长AE，取A'E=AE．做点F（1，-1），连接A'F．利用两点间的线段最短，可知四边形ABDC的周长最短等于A'F+CD+AB，从而确定C点的坐标值．
（3）根据对称轴的性质，可得存在使四边形ABMN周长最短的点M、N，当且仅当m=

5

2

，n=-

5

3

；时成立．

解答：解：（1）设点B（4，-1）关于x轴的对称点是B'，其坐标为（4，1），
设直线AB'的解析式为y=kx+b，
把A（2，-3），B'（4，1）代入得：

2k+b=-3 4k+b=1

，
解得

k=2 b=-7

，
∴y=2x-7，
令y=0得x=

7

2

，
即p=

7

2

．

（2）过A点作AE⊥x轴于点E，且延长AE，取A'E=AE．做点F（1，-1），连接A'F．那么A'（2，3）．
直线A'F的解析式为y-1=

3-(-1)

2-1

•(x-1)，即y=4x-5，
∵C点的坐标为（a，0），且在直线A'F上，
∴a=

5

4

．

（3）存在使四边形ABMN周长最短的点M、N，
作A关于y轴的对称点A′，作B关于x轴的对称点B′，连接A′B′，与x轴、y轴的交点即为点M、N，
∴A′（-2，-3），B′（4，1），
∴直线A′B′的解析式为：y=

2

3

x-

5

3

，
∴M（

5

2

，0），N（0，-

5

3

）．
m=

5

2

，n=-

5

3

．

点评：考查图形的轴对称在实际中的运用，同时考查了根据两点坐标求直线解析式，运用解析式求直线与坐标轴的交点等知识．