Question

如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是梯形，OA∥BC，点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（3，4），点C在y轴的正半轴上．动点M在OA上运动，从O点出发到A点；动点N在AB上运动，从A点出发到B点．两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设两个点的运动时间为t（秒）．
（1）求线段AB的长；当t为何值时，MN∥OC；
（2）设△CMN的面积为S，求S与t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围；S是否有最小值？若有最小值，最小值是多少？
（3）连接AC，那么是否存在这样的t，使MN与AC互相垂直？若存在，求出这时的t值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）求线段AB的长可通过构建直角三角形进行求解．过B作BD⊥OA于D，那么AD=3，BD=4，根据勾股定理即可求出AB的长．
如果MN∥OC，那么△AMN∽△ABD，可的关于AN，AB，AM，AD的比例关系，其中AN=t，AM=6-t，AD=3，AB=5，由此可求出t的值．
（2）由于三角形CMN的面积无法直接求出，因此可用其他图形的面积的“和，差”关系来求．△CMN的面积=梯形AOCB的面积-△OCM的面积-△AMN的面积-△CBN的面积．
可据此来得出S，t的函数关系式．然后根据函数的性质即可得出S的最小值．
（3）易得△NME∽△ACO，利用相似三角形的对应边成比例得出的等量关系即可得出此时t的值．

解答：解：（1）过点B作BD⊥OA于点D，
则四边形CODB是矩形，
BD=CO=4，OD=CB=3，DA=3．
在Rt△ABD中，AB=

32+42

=5．
当MN∥OC时，MN∥BD，
∴△AMN∽△ADB，

AN

AB

=

AM

AD

．
∵AN=OM=t，AM=6-t，AD=3，
∴

t

5

=

6-t

3

，
即t=

15

4

（秒）．

（2）过点N作NE⊥x轴于点E，交CB的延长线于点F，
∵NE∥BD，
∴△AEN∽△ADB，

EN

DB

=

AN

AB

．
即

EN

4

=

t

5

，EN=

4

5

t．
∵EF=CO=4，
∴FN=4-

4

5

t．
∵S=S_梯形OABC-S_△COM-S_△MNA-S_△CBN，
∴S=

1

2

CO（OA+CB）-

1

2

CO•OM-

1

2

AM•EN-

1

2

CB•FN，
=

1

2

×4×（6+3）-

1

2

×4t-

1

2

×（6-t）×

4

5

t-

1

2

×3×（4-

4

5

t）．
即S=

2

5

t²-

16

5

t+12（0≤t≤5）．
由S=

2

5

t²-

16

5

t+12，
得S=

2

5

（t-4）²+

28

5

．
∴当t=4时，S有最小值，且S_最小=

28

5

．

（3）设存在点P使MN⊥AC于点P
由（2）得AE=

3

5

t   NE=

4

5

t
∴ME=AM-AE=6-t-

3

5

t=6-

8

5

t，
∵∠MPA=90°，
∴∠PMA+∠PAM=90°，
∵∠PAM+∠OCA=90°，
∴∠PMA=∠OCA，
∴△NME∽△ACO
∴NE：OA=ME：OC
∴

4 5 t

6

=

6- 8 5 t

4

 解得t=

45

16

∴存在这样的t，且t=

45

16

．

点评：本题结合了梯形的性质考查了二次函数的综合应用，利用数形结合的思想进行求解是解题的基本思路．