Question

【题目】已知：如图，AD是△ABC的角平分线，过点B、C分别作AD的垂线，垂足分别为F、E，CF和EB相交于点P，联结AP．

(1)求证：△ABF∽△ACE；

(2)求证：EC∥AP．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．

【解析】

（1）由AD是△ABC的角平分线，过点B、C分别作AD的垂线，可得∠BAF＝∠CAE，∠BFA＝∠AEC＝90°，根据有两角对应相等的三角形相似，可得△ABF∽△ACE．
（2）由相似三角形的对应边成比例，可得，即可得BF∥EC，由平行分线段成比例及其变形，即可得AP∥EC．

证：（1）∵AD平分∠ABC，∴∠1=∠2

又∵BF⊥BD，CE⊥AD，

∴∠BFA=∠AEC=90

∴ △ABF∽△ACE

（2）由（1）有

∵ BF⊥AD，CE⊥AD，有BF∥EC

∴

∴

∴AP∥EC