解:∵点A的坐标为(-1,0),
∴OA=1;
(2)把点A(-1,0)代入抛物线得,
-b+c=0,
∴b=c+
,
∵bc=3,
∴(c+
)c=3,
整理得,2c
2+c-6=0,
解得c
1=
(舍去),c
2=-2,
∴b=-2+
=-
,
抛物线解析式为y=
x
2-
x-2;
(3)①令y=0,则
x
2-
x-2=0,
整理得,x
2-3x-4=0,
解得x
1=-1,x
2=4,
∴点B的坐标为(4,0),
∴OB=4,
设点P的横坐标为x,
点P在y轴左边时,-1<x<0,过点P作PD⊥x轴于D,
△PBC的面积S=S
梯形PCOD+S
△BOC-S
△PBD,
=
(-
x
2+
x+2+2)•(-x)+
×4×2-
(-
x
2+
x+2)•(4-x),
=x
2-4x,
∵x<2时,S随x的增大而减小,
∴0<S<5;
点P在y轴右边时,0<x<4,过点P作PD⊥x轴于D,
△PBC的面积S=S
梯形PCOD+S
△PBD-S
△BOC,
=
(-
x
2+
x+2+2)•x+
(-
x
2+
x+2)•(4-x)+
×2×4,
=-x
2+4x,
=-(x-2)
2+4,
∵a=-1<0,
∴当x=2时,S有最大值4,
∴0<S≤4;
②点P在y轴左边时,S可取的整数值为1、2、3、4,点P有4个,
点P在y轴右边时,S可取的整数值有1、2、3、4,点P有7个,
所以,使△PBC的面积S为整数的点P共有11个.
分析:(1)根据点A的坐标写出OA的长度即可;
(2)把点A的坐标代入抛物线解析式用c表示出b,然后代入bc=3计算求出c的值,再求出b的值,即可得解;
(3)①根据抛物线解析式令y=0解方程求出点B的坐标,从而得到OB的长,再分点P在y轴左边时,过点P作PD⊥x轴于D,然后根据△PBC的面积S=S
梯形PCOD+S
△BOC-S
△PBD,列式整理,再根据二次函数的增减性求出取值范围;点P在y轴右边时,过点P作PD⊥x轴于D,然后根据△PBC的面积S=S
梯形PCOD+S
△PBD-S
△BOC列式整理,再根据二次函数的增减性求解;
②根据S的取值范围分两部分确定出点P的个数即可得解.
点评:本题是二次函数综合题型,主要利用了二次函数图象上点的坐标特征,三角形的面积表示,二次函数的对称性以及二次函数的函数值的取值范围的求解,难点在于(3)要分情况讨论.