【题目】如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A(﹣1,0),B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C(0,3),作直线BC.动点P在x轴上运动,过点P作PM⊥x轴,交抛物线于点M,交直线BC于点N,设点P的横坐标为m.
(1)求抛物线的解析式;
(2)当点P在线段OB上运动时,求线段MN的最大值;
(3)是否存在点P,使得以点C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出m的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)y=﹣x2+2x+3;(2)线段MN最大值为;(3)存在点P,使得以点C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形,此时m的值为或.
【解析】
(1)根据点A、C的坐标,利用待定系数法即可求出抛物线的解析式;
(2)由二次函数图象上点的坐标特征可找出点B的坐标,根据点B、C的坐标,利用待定系数法可求出直线BC的解析式,设点P的坐标为(m,0)(0≤m≤3),点M的坐标为(m,﹣m2+2m+3),点N的坐标为(m,﹣m+3),由此即可得出MN=﹣m2+3m,利用配方法即可求出线段MN的最大值;
(3)根据平行四边形的性质可得出MN=OC,分m<0或m>3以及0≤m≤3两种情况,即可得出关于m的一元二次方程,解之即可得出结论.
(1)将A(﹣1,0)、C(0,3)代入y=﹣x2+bx+c中,
,解得:,
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3.
(2)当y=﹣x2+2x+3=0时,x1=﹣1,x2=3,
∴点B的坐标为(3,0).
设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0),
将B(3,0)、C(0,3)代入y=kx+b中,
,,解得:,
∴直线BC的解析式为y=﹣x+3.
设点P的坐标为(m,0)(0≤m≤3),点M的坐标为(m,﹣m2+2m+3),
点N的坐标为(m,﹣m+3),
∴MN=﹣m2+2m+3﹣(﹣m+3)=﹣m2+3m=﹣(m﹣)2+,
∴当m=,线段MN取最大值,最大值为.
(3)∵MN∥CO,
∴当MN=CO时,以点C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形.
∵点O(0,0)、C(0,3),
∴OC=3,
∴|﹣m2+3m|=3,
当m<0或m>3时,有m2﹣3m=3,
解得:m1=,m2=;
当0≤m≤3时,有﹣m2+3m=3,
∵△=(﹣3)2﹣4×1×3=﹣3<0,
∴此时方程无解.
综上所述:存在点P,使得以点C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形,此时m的值为或.
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【题目】解不等式组: .请结合题意填空,完成本体的解法.
(1)解不等式(1),得________;
(2)解不等式(2),得________;
(3)把不等式 (1)和 (2)的解集在数轴上表示出来.
(4)原不等式的解集为________.
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【题目】如图,在反比例函数y=-的图象上有一动点A,连结AO并延长交图象的另一支于点B,在第一象限内有一点C,满足AC=BC,当点A运动时,点C始终在函数y=的图象上运动,若tan∠CAB=3,则k的值为( )
A.B.6C.8D.18
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【题目】如图1,平面直角坐标系xoy中,A(-4,3),反比例函数的图象分别交矩形ABOC的两边AC,BC于E,F(E,F不与A重合),沿着EF将矩形ABOC折叠使A,D重合.
(1)①如图2,当点D恰好在矩形ABOC的对角线BC上时,求CE的长;
②若折叠后点D落在矩形ABOC内(不包括边界),求线段CE长度的取值范围.
(2)若折叠后,△ABD是等腰三角形,请直接写出此时点D的坐标.
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【题目】已知:如图,在平面直角坐标系中,点为坐标原点,.直线与轴交于点A,交轴于点B.过C点作直线AB的垂线,垂足为E,交轴于点D.
(1)求直线CD的解析式;
(2)点G为轴负半轴上一点,连接EG,过点E作交轴于点H.设点G的坐标为,线段AH的长为.求与之间的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围)
(3)过点C作轴的垂线,过点G作轴的垂线,两线交于点M,过点H作于点N,交直线CD于点,连接MK,若MK平分,求的值.
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【题目】“机动车行驶到斑马线要礼让行人”等交通法规实施后,某校数学课外实践小组就对这些交通法规的了解情况在全校随机调查了部分学生,调查结果分为四种:A.非常了解,B.比较了解,C.基本了解,D.不太了解,实践小组把此次调查结果整理并绘制成下面不完整的条形统计图和扇形统计图.
请结合图中所给信息解答下列问题:
(1)本次共调查 名学生;扇形统计图中C所对应扇形的圆心角度数是 ;
(2)补全条形统计图;
(3)该校共有800名学生,根据以上信息,请你估计全校学生中对这些交通法规“非常了解”的有多少名?
(4)通过此次调查,数学课外实践小组的学生对交通法规有了更多的认识,学校准备从组内的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两名学生参加市区交通法规竞赛,请用列表或画树状图的方法求甲和乙两名学生同时被选中的概率.
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【题目】如图,△ABC是⊙O的内接圆,且AB是⊙O的直径,点D在⊙O上,BD平分∠ABC交AC于点E,DF⊥BC交BC延长线于点F.
(1)求证:DF是⊙O的切线.
(2)若,求DE的长.
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【题目】为落实“垃圾分类”,环保部门要求垃圾要按A,B,C,D四类分别装袋、投放,其中A类指废电池、过期药品等有害垃圾;B类指剩余食品等厨余垃圾;C类指塑料、废纸等可回收物;D类指其他垃圾.小明投放了一袋垃圾,小亮投放了两袋不同类垃圾.
(1)直接写出小明投放的垃圾恰好是A类的概率是 ;
(2)如果小明投放的垃圾是A类,请用画树状图或列表的方法求小亮投放的垃圾恰有一袋与小明投放的垃圾是同类的概率.
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