Question

【题目】如图，在△ABC中，E是AC边上的一点，且AE=AB，∠BAC=2∠CBE，以AB为直径作⊙O交AC于点D，交BE于点F．

（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若AB=8，BC=6，求DE的长．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：∵AE=AB，

∴△ABE是等腰三角形，

∴∠ABE= （180°﹣∠BAC=）=90°﹣ ∠BAC，

∵∠BAC=2∠CBE，

∴∠CBE= ∠BAC，

∴∠ABC=∠ABE+∠CBE=（90°﹣ ∠BAC）+ ∠BAC=90°，

即AB⊥BC，

∴BC是⊙O的切线

（2）

解： 连接BD，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

∵∠ABC=90°，

∴∠ADB=∠ABC，

∵∠A=∠A，

∴△ABD∽△ACB，

∴ ，

∵在Rt△ABC中，AB=8，BC=6，

∴AC= =10，

∴ ，

解得：AD=6.4，

∵AE=AB=8，

∴DE=AE﹣AD=8﹣6.4=1.6

【解析】（1）由AE=AB，可得∠ABE=90°﹣ ∠BAC，又由∠BAC=2∠CBE，可求得∠ABC=∠ABE+∠CBE=90°，继而证得结论；（2）首先连接BD，易证得△ABD∽△ACB，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．此题考查了切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及勾股定理．注意准确作出辅助线，证得△ABD∽△ACB是解此题的关键．
【考点精析】认真审题，首先需要了解等腰三角形的性质(等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）)，还要掌握勾股定理的概念(直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2)的相关知识才是答题的关键．