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已知一元二次方程(m+1)x2+2mx+m-3=0有两个不相等的实数根,并且这两个根又不互为相反数.
(1)求m的取值范围;
(2)当在m的取值范围内取最小的偶数时,方程的两根为x1,x2,求3x12(1-4x2)的值.
分析:(1)根据方程有两个不相等的实数根,得到根的判别式的值大于0列出关于m的不等式,求出不等式的解集即可得到m的范围;
(2)求出m范围内的最小偶数,确定出m的值,利用根与系数的关系求出两个之和与两根之积,所求式子变形后代入计算即可求出值.
解答:解:(1)∵方程有两个不相等的实数根,且两根不互为相反数,
∴△=b2-4ac=4m2-4(m+1)(m-3)=8m+12>0,且m≠0,
解得:m>-
3
2
且m≠0;
(2)根据(1)得到m=2,方程变形为3x2+4x-1=0,
∵方程的两根为x1,x2
∴3x22+4x2-1=0,即1-4x2=3x22,x1x2=-
1
3

则3x12(1-4x2)=9x12x22=9×
1
9
=1.
点评:此题考查了根与系数的关系,以及根的判别式,熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键.
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(2)设抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C.若点D的坐标为(0,-2),且AD•BD=10,求抛物线的解析式及点C的坐标;
(3)在(2)中所得的抛物线上是否存在一点P,使得PC=PD?若存在,求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.

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1
a
+
1
b
的值是
 

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(1)已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实根为x1,x2,则有x1+x2=-
b
a
,x1•x2=
c
a
.这个结论是法国数学家韦达最先发现并证明的,故把它称为“韦达定理”.利用此定理,可以不解方程就得出x1+x2和 x1•x2的值,进而求出相关的代数式的值.
请你证明这个定理.
(2)对于一切不小于2的自然数n,关于x的一元二次方程x2-(n+2)x-2n2=0的两个根记作an,bn(n≥2),
请求出
1
(a2-2)(b2-2)
+
1
(a3-2)(b3-2)
+…+
1
(a2011-2)(b2011-2)
的值.

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(2012•高州市一模)已知一元二次方程(m-1)x2-4mx+4m-2=0有实数根,则m的取值范围是(  )

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