Question

如图，在直角坐标系中，点A坐标为（1，0），点B坐标为（0，1），E、F是线段AB上的两个动点，且∠EOF=45°，过点E、F分别作x轴和y轴的垂线CE、DF相交于点P，垂足分别为C、D、设P点的坐标为（x，y），令xy=k，
（1）求证：△AOF∽△BEO；
（2）当OC=OD时，求k的值；
（3）在点E、F运动过程中，点P也随之运动，探索：k是否为定值？请证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）要证明△AOF∽△BEO，由题意可知OA=OB，∠AOB=90°，∴∠OAF=∠OBE=45°，看边角关系，只要证∠AOF=∠BEO即可∠AOF=∠AOE+∠EOF，∠BEO=∠OAF+∠AOE；∵∠EOF=45°，∴∠AOF=∠BEO．问题得证．
（2）当OC=OD时，作OM⊥AB于M，OM=

1

2

AB=

2

2

，由OC=OD，OA=OB=1，可以得到CE=DF，又∠OCE=∠ODF，
∴△OCE≌△ODF，故有OF=OE，∠EOM=

1

2

∠EOF=22.5°，而∠COE=∠AOM-∠EOM=45°-22.5°=22.5°=∠EOM，
∴PC=PD=OC=

2

2

，k值可求．
（3）假设k的值为定值，即PC•PD=定值，作FK⊥OA于点K，EH⊥OB于点H，由△AOF∽△BEO得

AF

OB

=

OA

BE

，∴AF×BE=OA×OB=1，BE=

2

HE，AF=

2

FK，于是

2

HE×

2

FK=1，即HE×FK=

1

2

，PC×PD=EH×FK=

1

2

，问题可求．

解答：（1）证明：由题意得OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠OAF=∠OBE=45°；
又∵∠AOF=∠AOE+∠EOF，∠BEO=∠OAF+∠AOE；∠EOF=45°，
∴∠AOF=∠BEO，
∴△AOF∽△BEO．

（2）解：作OM⊥AB于M，则OM=

1

2

AB=

2

2

∵OC=OD，OA=OB=1，
∴CE=DF，
又∵∠OCE=∠ODF，
∴△OCE≌△ODF，
∴OF=OE，
∵∠EOM=

1

2

∠EOF=22.5°，又∠COE=∠AOM-∠EOM=45°-22.5°=22.5°=∠EOM
∴PC=PD=OC=

2

2

，
∴k=PC×PD=

1

2

．

（3）解：如图，作FK⊥OA于点K，EH⊥OB于点H，
∵△AOF∽△BEO，
∴

AF

OB

=

OA

BE

，
∴AF×BE=OA×OB=1，
∵BE=

2

HE，AF=

2

FK，
∴

2

HE×

2

FK=1，即HE×FK=

1

2

，
∴PC×PD=EH×FK=

1

2

，
∴k的值为定值

1

2

．

点评：本题综合运用了全等、相似三角形的判定和性质，及三角形的内外角关系等，来解题，综合性强，属能力拔高题．