Question

用配方法可以解一元二次方程，还可以用它来解决很多问题．
例如：因为3a²≥0，所以3a²+1就有最小值1，即3a²+1≥1，只有当a=0时，才能得到这个式子的最小值1．同样，因为-3a²≤0，所以-3a²+1有最大值1，即-3a²+1≤1，只有在a=0时，才能得到这个式子的最大值1；同样对于2x²+4x+3=2（x²+2x）+3=2（x²+2x+1）+3-2=2（x+1）²+1，当x=-1时代数式2x²+4x+3有最小值1．
（1）填空：a．当x=______时，代数式（x-1）²+3 有最______（填写大或小）值为______．
b．当x=______时，代数式-2x²+4x+3有最______（填写大或小）值为______．
（2）运用：
a．证明：不论x为何值，代数式3x²-6x+4的值恒大于0；
b．矩形花园的一面靠墙，另外三面的栅栏所围成的总长度是8m，当花园与墙相邻的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？

Answer 1

解：（1）∵（x-1）²≥0，
∴当x=1时，代数式（x-1）²+3有最小值为3；
代数式-2x²+4x+3=-2（x²-2x+1）+5=-2（x-1）²+5，
当x=1时，（x-1）²≥0，故代数式-2x²+4x+3有最大值为5；
故答案为：（1）1；小；3；1；大；5；
（2）a、证明：∵（x-1）²≥0，
∴3x²-6x+4=3（x²-2x+1）+1=3（x-1）²+1≥1＞0，
则不论x为何值，代数式3x²-6x+4的值恒大于0；
b、设当花园与墙相邻的边长为xm，则平行于墙的边长为（8-2x）m，
∴矩形花园的面积S=x（8-2x）=-2x²+8x=-2（x²-4x+4）+8=-2（x-2）²+8，
当x-2=0，即x=2时，（x-2）²=0，此时S取得最大值8，
则当当花园与墙相邻的边长为2m，矩形花园面积最大，最大面积为8m²．
分析：（1）由完全平方式的最小值为0，得到x=1时代数式（x-1）²+3有最小值为3；同理将代数式-2x²+4x+3前两项提取-2，配方后，即可得到代数式取得最大值时x的值，及最大值；
（2）a、将代数式前两项提取3，配方后，根据完全平方式大于等于0，求出代数式的最小值为1，恒大于0，得证；
b、设当花园与墙相邻的边长为xm，由总长度为8m，表示出平行于墙的边长，利用矩形的面积等于长乘以宽表示出面积，整理后配方，利用完全平方式大于等于0，求出面积最大时x的值及此时的面积即可．
点评：此题考查了配方法的应用，弄清题意，灵活运用完全平方公式是解本题的关键．