Question

已知：如图，△ABC中，D为AC上一点，CD=2DA，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD，垂足为E，连接AE．
（1）求证：DE=DA；
（2）图中有无相似三角形？若有，请写出一对，并证明；若没有，请说明理由；
（3）求△BEC与△AEB的面积之比．

Answer 1

分析：（1）根据题意得∠DCE=30°，根据直角三角形的性质得CD=2DE，即可得出DE=DA；
（2）先判断，再根据题意得出∠DCE=∠DEA，∠CEA=∠ADE，则△ACE∽△AED．
（3）过点A作AF⊥BD，交BD延长线于点F．则∠AFD=∠CED=90°可证得△CED∽△AFD，则

CE

AF

=

CD

AD

=

2AD

AD

=2，从而得出

S△BEC

S△AEB

．

解答：（1）证明：∵∠BDC=60°，CE⊥BD，
∴∠DCE=30°，
∴CD=2DE（1分）
∵CD=2DA，
∴DE=DA．（2分）

（2）有，△ACE∽△AED（或△ABC∽△BDC）
证明：∵DE=DA，∠BDC=60°，
∴∠DEA=∠DAE=30°，∠ADE=120°
∵∠CEA=∠CED+∠AED=120°
∴∠DCE=∠DEA=30°，∠CEA=∠ADE=120°
∴△ACE∽△AED．（4分）
注：△ABC∽△BDC的证明正确同样给（2分）．此问不设（1分）点．

（3）解：过点A作AF⊥BD，交BD延长线于点F．
∴∠AFD=∠CED=90°，
又∵∠CDE=∠ADF，
∴△CED∽△AFD，
∴

CE

AF

=

CD

AD

=

2AD

AD

=2，（5分）
∴

S△BEC

S△AEB

=

1 2 BE• CE

1 2 BE•AF

=

CE

AF

=2：1．（6分）

点评：本题考查了相似三角形的判定和性质以及直角三角形的性质，是基础知识要熟练掌握．