Question

如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=3cm，OB=4cm，以点O为坐标原点建立坐标系，设P、Q分别为AB、OB边上的动点它们同时分别从点A、O向B点匀速运动，速度均为1cm/秒，设P、Q运动时间为t（0≤t≤4）
（1）AB的长为______cm．
（2）过点P做PM⊥OA于M，则P点的坐标为______（用含t的代数式表示）．
（3）求△OPQ面积S（cm²）与运动时间t（秒）之间的函数关系式，当t为何值时，S有最大值？最大是多少？
（4）探究△OPQ能否为直角三角形，若能，请直接写出t的值；若不能，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵OA=3cm，OB=4cm，
∴AB==5cm．

（2）∵△APM∽△ABO，
∴==，
∴MP=，AM=，
∴P（，3-）．

（3）如图：
过点P作PN⊥OQ于点N，则PN=3-，
S=OQ•PN
=t（3-）
=-t²+t
∵a=-＜0，
∴当t=时，S有最大值，且S_最大值=．

（4）△OPQ能成为直角三角形．
∵∠POQ＜90°，OQ=t＞ON，∠OQP＜90°，
∴只有∠OPQ可能是90°，
当∠OPQ=90°时，
△OPN∽△PQN，
∴=，
∴PN²=ON•NQ
即：=×，
解得：t₁=3，t₂=15，
∵OB=4＜15，
∴t=3．
分析：（1）利用勾股定理可以求出AB的长．
（2）根据△APM∽△ABO，可以求出点P的坐标．
（3）过点P作PN⊥OQ于点N，得到S与t的函数关系式，然后利用二次函数的性质，求出S的最大值以及对应的t值．
（4）分别以∠OPQ=90°和∠OQP=90°确定t的值．
点评：本题考查了二次函数的综合运用，（1）利用勾股定理求出线段AB的长．（2）利用相似三角形的性质求出点P的坐标．（3）用三角形的面积公式求出二次函数，并利用二次函数的性质确定S的最大值和对应的t值．（4）先确定可能是90°的角，然后用相似三角形的性质求出t值．