Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，且点与点关于轴对称．

（1）求直线的解析式；

（2）点为线段上一点，点为线段上一点，，连接，设点的横坐标为，的面积为（），求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；

（3）在（2）的条件下，当取最大值时，若点是平面内的一点，在直线上是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1) ；(2) ；(3)存在，N点坐标为(，)或(，)或(0，3)或(，)

【解析】

(1)求出A(-4，0)，B(0，3)，C(4，0)，利用待定系数法求BC的解析式即可；
(2)过点A作AD⊥BC于点D，过点P作PE⊥BC于点E，PF⊥OB于点F，设点P的坐标为(，)，求出AD的长，利用三角形函数求出，BQ=AB-PB=5+，再由，代入所求量即可求解；
(3)由(2)求出P、Q点坐标，分四种情况分别求N点坐标：当N点在PQ上方时；当N点在PQ下方时；当PQ为菱形对角线时；当PN为菱形对角线时．

(1)对于直线当，；当，，
∴，
∵点C与点A关于y轴对称，
∴点C的坐标为，
设直线BC的解析式为，
将点B、C代入解析式可得：，

解得：，

∴直线BC的解析式为；

(2)如图：过点A作AD⊥BC于点D，过点P作PE⊥BC于点E，PF⊥OB于点F，

∵，C，

∴OA=OC=4，OB=3，
∴AC=8，AB=BC=5，
∴，即，

∴，

∵点P在直线上，

设点P的坐标为(，)，

∴，cos∠BPF=cos∠BAO，

即，

∴，

∵，

∴，

∵AP=BQ，
∴，

∴；

(3)∵，

∴当时，S有最大值，
∴点P的坐标为(，)，

∴，

∵点Q在直线上，

设点Q的坐标为(，)，

∵，

∴，

解得：，
∵Q在线段BC上，
∴，
∴点Q的坐标为(，)，

∴PQ∥x轴，

∴，
如图：当N点在PQ上方时，过N点作NH⊥PQ交于点H，

∵PQ∥轴，

∴，

∵PN=PQ=4，

∴，

∴N点纵坐标为，

∴N点横坐标为，

解得：，

∴点N的坐标为(，)，

同理，当N点在PQ下方时，N点纵坐标为，

∴点N的坐标为(，)；

∵P、Q关于y轴对称，当PQ为菱形对角线时，
∴当点N的坐标为(0，3)时，NPMQ是菱形；
如图：当PN为菱形对角线时，
作Q点关于直线对称的点为M，
设QM与PN的交点为G，过G点作LK⊥PQ交PQ于点K，交MN于点L，

∵MQ⊥PN，，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵点P，Q，N，M为顶点的四边形是菱形，且PN为菱形对角线，

∴MN∥PQ，即ML∥KQ，

又∵Q点关于直线对称的点为M，

∴QG=GM

∴，

∴，

∴N点纵坐标为，

∴N点横坐标为，

解得：，

∴点N的坐标为(，)，

综上所述：点P，Q，M，N为顶点的四边形是菱形时，N点坐标为(，)或(，)或(0，3)或(，) ．