Question

【题目】小明将两个直角三角形纸片如图（1）那样拼放在同一平面上，抽象出如图（2）的平面图形，与恰好为对顶角，，连接，，点F是线段上一点．

探究发现：

（1）当点F为线段的中点时，连接（如图（2），小明经过探究，得到结论：．你认为此结论是否成立？_________．（填“是”或“否”）

拓展延伸：

（2）将（1）中的条件与结论互换，即：若，则点F为线段的中点．请判断此结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．

问题解决：

（3）若，求的长．

Answer 1

【答案】（1）是；（2）结论成立，理由见解析；（3）

【解析】

（1）利用等角的余角相等求出∠A=∠E，再通过AB=BD求出∠A=∠ADB，紧接着根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求出FD=FE=FC，由此得出∠E=∠FDE，据此进一步得出∠ADB=∠FDE，最终通过证明∠ADB+∠EDC=90°证明结论成立即可；

（2）根据垂直的性质可以得出90°，90°，从而可得，接着证明出，利用可知，从而推出，最后通过证明得出，据此加以分析即可证明结论；

（3）如图，设G为的中点，连接GD，由（1）得，故而，在中，利用勾股定理求出，由此得出，紧接着，继续通过勾股定理求出，最后进一步证明，再根据相似三角形性质得出，从而求出，最后进一步分析求解即可.

（1）∵∠ABC=∠CDE=90°，

∴∠A+∠ACB=∠E+∠ECD，

∵∠ACB=∠ECD，

∴∠A=∠E，

∵AB=BD，

∴∠A=∠ADB，

在中，

∵F是斜边CE的中点，

∴FD=FE=FC，

∴∠E=∠FDE，

∵∠A=∠E，

∴∠ADB=∠FDE，

∵∠FDE+∠FDC=90°，

∴∠ADB+∠FDC=90°，

即∠FDB=90°，

∴BD⊥DF，结论成立，

故答案为：是；

（2）结论成立，理由如下：

∵，

∴90°，90°，

∴，

∵，

∴．

∴．

又∵，

∴．

∴．

又90°，90°，，

∴，

∴．

∴．

∴F为的中点；

（3）如图，设G为的中点，连接GD，由（1）可知，

∴，

又∵，

在中，，

∴，

在中，，

在与中，

∵∠ABC=∠EDC，∠ACB=∠ECD，

∴，

∴，

∴，

∴．