Question

已知直线y1=-

3

3

x+

3

与x、y轴分别交于A、B两点，抛物线y2=-

3

3

x2+bx+c过A、B两点，
①求抛物线的解析式；
②在抛物线上是否存在一点P（除点A外），使点P关于直线y1=-

3

3

x+

3

的对称点Q恰好在x轴上？若不存在，请说明理由；若存在，求出点P的坐标，并求得此时四边形APBQ的面积．

Answer 1

分析：（1）直线y₁与x、y轴分别交于A、B两点，求得A与B的坐标，然后由待定系数法即可求得抛物线的解析式；
（2）首先过点P作PH⊥OA于H，由OB=

3

，OA=3，根据tan∠BAO=

OB

OA

，即可求得∠BAO=30°，又由PQ关于AB对称，∠OAB=60°，然后设P的坐标为（x，-

3

3

x²+

2

3

3

x+

3

），即可求得点P的坐标，继而求得此时四边形APBQ的面积．

解答：解：①∵直线y₁与x、y轴分别交于A、B两点，
∴当x=0时，y=

3

，
当y=0时，x=3，
∴A（3，0），B（0，

3

），
∵抛物线y₂过A、B两点，
∴

- 3 3 ×9+3b+c=0 c= 3

，
解得：

b= 2 3 3 c= 3

，
∴抛物线的解析式为：y=-

3

3

x²+

2

3

3

x+

3

=-

3

3

（x-1）²+

4

3

3

；

（2）如图，过点P作PH⊥OA于H，
∵OB=

3

，OA=3，
∴tan∠BAO=

OB

OA

=

3

3

，
∴∠BAO=30°，
∵PQ关于AB对称，
∴∠OAP=60°，
设P的坐标为（x，-

3

3

x²+

2

3

3

x+

3

），
∴OH=x，AH=3-x，
∴tan∠OAP=tan60°=

PH

AH

=

- 3 3 x2+ 2 3 3  x+ 3

3-x

=

3

，
解得：x=2或x=3（舍去），
∴点P（2，

3

），
∴AP=2，
∴PQ=2，
∵AB=2

3

，
∴S_{四边形APBQ}=

1

2

PQ•AB=

1

2

×2×2

3

=2

3

．
∴存在，点P的坐标为（2，

3

），此时四边形APBQ的面积为2

3

．

点评：此题考查了二次函数的综合应用．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．