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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，在平面直角坐标系中，一抛物线的对称轴为直线x=1，与y轴负半轴交精英家教网于C点，与x轴交于A、B两点，其中B点的坐标为（3，0），C点坐标为（0，-3）．
    （1）求此抛物线的解析式；
    （2）若点G（2，-3）是该抛物线上一点，点E是直线AG下方的抛物线上一动点，当点E运动到什么位置时，△AEG的面积最大？求出此时E点的坐标和△AEG的最大面积；
    （3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点（其中点M在点N的右侧），在x轴上是否存在点Q，使△MNQ为等腰直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
    分析：（1）根据抛物线的对称轴方程及B点坐标，可求得A点坐标，再用待定系数法求出抛物线的解析式；
    （2）可分别过E、G作x轴的垂线，设垂足为F、H；那么△AGE的面积=△AEF的面积+四边形FHGE的面积-△AGH的面积，设出E点的坐标，即可表示出F点坐标及EF的长，根据上面所得出的面积计算方法，可得出关于△AGE的面积与E点横坐标的函数关系式，根据所得函数的性质，即可求出△AGE的最大面积及对应的E点坐标；
    （3）分两种情况讨论：
    ①以MN为斜边，则Q点在MN的垂直平分线上，即Q点为抛物线对称轴与x轴交点，由此可得出Q点坐标；
    ②以MN为直角边；设出M、N的坐标，可表示出MN的长，由于△MNQ是等腰Rt△，则MN的长与M、N的纵坐标的绝对值相同，由此可求出M、N的坐标，也就求出了Q点的坐标．
    解答：解：（1）∵抛物线的对称轴为x=1，且B（3，0），
    ∴A（-1，0）；
    可设抛物线的解析式为：y=a（x-3）（x+1），则有：
    （-3）×1×a=-3，a=1；精英家教网
    ∴y=x2-2x-3（4分）

    （2）当E运动到(
    1
    2
    ，-
    15
    4
    )    时有最大面积，最大面积是
    27
    8
    ，理由如下：
    过E作EF⊥x轴于F，过G作GH⊥x轴于H；
    设E（x0，y0），则F（x0，0），EF=-（x02-2x0-3）
    因为G（2，-3）所以GH=3
    S△AEF=
    -(x0+1)
    2
    y0    ，S△AGH=
    AM•MH
    2
    =
    9
    2

    S四边形FHGE=
    (MH+EF)HF
    2
    =
    x0y0-3x0-2y0+6
    2

    所以S△AGE=S△AEF+S四边形FHGE-S△AGH=-
    3
    2
    x02+
    3
    2
    x0+3=-
    3
    2
    (x0-
    1
    2
    )2+
    27
    8
    （6分）
    当x0=
    1
    2
    时，有最大值为
    27
    8
    ；（7分
    将x0=
    1
    2
    代入y=x2-2x-3，精英家教网
    得y0=-
    15
    4
    ；
    所以E(
    1
    2
    ，-
    15
    4
    )    ；（8分）

    （3）存在，Q（1，0）或（±
    		5
    ，0    ）或（2±
    		5
    ，0    ）理由如下（9分）
    因为MN平行与x轴，
    所以M、N关于x=1对称
    ①若NQ=QM，则Q必在MN的中垂线即对称轴x=1上，所以Q（1，0）（10分）
    ②若QN=MN，则∠QMN=90°，设M（m1，n1）
    精英家教网则有：N（2-m1，n1），MN=m1-（2-m1）=2m1-2
    QN=|n1|，
    所以|n1|=2m1-2，其中n1=m12-2m1-3
    同理若QM=MN，QM=|n1|，n1=m12-2m1-3，
    综上可得|n1|=2m1-2
    解得m1=
    		5
    或-
    		5
    或2+
    		5
    或2-
    		5
    ；（12分）
    ∴Q1（
    		5
    ，0），Q2（-
    		5
    ，0），Q3（2+
    		5
    ，0），Q4（2-
    		5
    ，0）．
    综上所述，存在符合条件的Q点，
    且坐标为：Q1（
    		5
    ，0），Q2（-
    		5
    ，0），Q3（2+
    		5
    ，0），Q4（2-
    		5
    ，0），Q5（1，0）．
    点评：此题考查了二次函数解析式的确定、图形面积的求法、二次函数的应用、等腰直角三角形的判定和性质等知识，综合性强，能力要求较高．考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．
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    （1）求点B的坐标；
    （2）当∠CPD=∠OAB，且
    BD
    AB
    =
    5
    8
    ，求这时点P的坐标．

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    5
    29
    5
    29
    ．

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    5
    5
    ．

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    k
    x
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    k
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    （1）求梯形OABC的面积；
    （2）当直线CP把梯形OABC的面积分成相等的两部分时，求直线CP的解析式；
    （3）当△OCP是等腰三角形时，请写出点P的坐标（不要求过程，只需写出结果）．

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