Question

如图，已知函数y=2x图象和函数y=

k

x

图象交于A，B两点，过A作AE⊥X轴于点E，△AOE的面积为4，点C是坐标轴上一点，点D是双曲线上一点，则当以点B，E，C，D为顶点的四边形是平行四边形时，满足条件的点C的坐标是

 

．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：综合题

分析：根据一次函数图象上点的坐标特征，设A（t，2t），利用三角形面积公式可求出t=2，得到A（2，4），E（2，0），利用反比例函数图象的对称性得到B（-2，-4），作BF⊥x轴于F，连结AF交y轴于G点，交反比例函数图象于H点，如图，易得四边形AEBF为平行四边形，则此时C点坐标为（-2，0）；利用待定系数法求出直线AF的解析式为y=x+2，则G（0，2），通过解方程组

y= 8 x y=x+2

得H（-4，-2），然后计算HG和BE的长得到BE=HG，加上BE∥HG，可判断四边形BEGH为平行四边形，于是得到此时C点坐标为（0，2）．

解答：解：设A（t，2t），
∵△AOE的面积为4，
∴

1

2

•t•2t=4，解得t=2，
∴A（2，4），E（2，0），
∵函数y=2x图象和函数y=

k

x

图象交于A，B两点，
∴点A与点B关于原点对称，
∴B（-2，-4），
作BF⊥x轴于F，连结AF交y轴于G点，交反比例函数图象于H点，如图，
∵AE=BF=2，AE∥BF，
∴四边形AEBF为平行四边形，
∴点C在F点处，点D在A点处满足条件，此时C点坐标为（-2，0），
∴AH∥BE，
设直线AF的解析式为y=mx+n，
把A（2，4），F（-2，0）代入得

2k+b=4 -2k+b=0

，解得

b=2 k=1

，
∴直线AF的解析式为y=x+2，
当x=0时，y=x+2=2，则G（0，2）；
解方程组

y= 8 x y=x+2

得

x=2 y=4

或

x=-4 y=-2

，则H（-4，-2），
∴HG=

42+(2+2)2

=4

2

，
而BE=

42+(2+2)2

=4

2

，
∴BE=HG，BE∥HG，
∴四边形BEGH为平行四边形，
∴点C在G点处，点D在H点处满足条件，此时C点坐标为（0，2），
综上所述，满足条件的P点坐标为（-2，0）或（0，2）．
故答案为（-2，0）或（0，2）．

点评：本题考查了反比例函数的综合题：熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征和一次函数图象上点的坐标特征；会应用平行四边形的性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．