练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，在平面直角坐标系中，一抛物线的对称轴为直线x=1，与y轴负半轴交于C点，与精英家教网x轴交于A、B两点，其中B点的坐标为（3，0），且OB=OC．
    （1）求此抛物线的解析式；
    （2）若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△APG的面积最大？求出此时P点的坐标和△APG的最大面积．
    （3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点（其中点M在点N的右侧），在x轴上是否存在点Q，使△MNQ为等腰直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
    分析：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），根据已知得到C（0，-3），A（-1，0），代入得到方程组
    a-b+c=0
    9a+3b+c=0
    c=-3
    ，求出方程组的解即可；
    （2）过点P作y轴的平行线与AG交于点F，求出点G的坐标（2，-3），设直线AG为y=kx+n（k≠0），代入得到
    -k+n=0
    2k+n=-3
    ，求出方程组的解得出直线AG为y=-x-1，设P（x，x2-2x-3），则F（x，-x-1），PF=-x2+x+2，根据三角形的面积公式求出△APG的面积，化成顶点式即可；
    （3）存在．根据MN∥x轴，且M、N在抛物线上，得到M、N关于直线x=1对称，设点M为（m，m2-2m-3）且m＞1，得到MN=2（m-1），当∠QMN=90°，且MN=MQ时，由△MNQ为等腰直角三角形，得到2（m-1）=|m2-2m-3|，求出m的值，得出点M和点Q的坐标；当∠QNM=90°，且MN=NQ时，同理可求点Q的坐标，当∠NQM=90°，且MQ=NQ时，过Q作QE⊥MN于点E，则QE=
    1
    2
    MN，根据抛物线及等腰直角三角形的轴对称性，得到点Q的坐标．
    解答：解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），
    由已知得：C（0，-3），A（-1，0），
    ∴
    a-b+c=0
    9a+3b+c=0
    c=-3
    ，
    解得
    a=1
    b=-2
    c=-3
    ，
    ∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3，
    答：抛物线的解析式为y=x2-2x-3．
    （2）过点P作y轴的平行线与AG交于点F，精英家教网
    由y=x2-2x-3，
    令x=2，则y=-3，
    ∴点G为（2，-3），
    设直线AG为y=kx+n（k≠0），
    ∴
    -k+n=0
    2k+n=-3
    ，
    解得
    k=-1
    n=-1
    ，
    即直线AG为y=-x-1，S三角形APG
    设P（x，x2-2x-3），则F（x，-x-1），PF=-x2+x+2，
    ∵S三角形APG=S三角形APF+S三角形GPF
    =
    1
    2
    •（-x2+x+2）•（x+1）+
    1
    2
    •（-x2+x+2）•（2-x）
    =-
    3
    2
    x2+
    3
    2
    x+3，
    ∴当x=
    1
    2
    时，△APG的面积最大，
    此时P点的坐标为(
    1
    2
    ，-
    15
    4
    )    ，S△APG的最大值为
    27
    8
    ，
    答：当点P运动到（
    1
    2
    ，-
    15
    4
    ）位置时，△APG的面积最大，此时P点的坐标是（
    1
    2
    ，-
    15
    4
    ），△APG的最大面积是
    27
    8
    ．

    （3）存在．精英家教网
    ∵MN∥x轴，且M、N在抛物线上，
    ∴M、N关于直线x=1对称，
    设点M为（m，m2-2m-3）且m＞1，
    ∴MN=2（m-1），
    当∠QMN=90°，且MN=MQ时，
    △MNQ为等腰直角三角形，
    ∴MQ⊥MN即MQ⊥x轴，
    ∴2（m-1）=|m2-2m-3|，
    即2（m-1）=m2-2m-3或2（m-1）=-（m2-2m-3），
    解得m1=2+
    		5
    ，m2=2-
    		5
    （舍）或m1=
    		5
    ，m2=-
    		5
    （舍），
    ∴点M为（2+
    		5
    ，2+2
    		5
    ）或（
    		5
    ，2-2
    		5
    ），
    ∴点Q为（2+
    		5
    ，0）或（
    		5
    ，0），
    当∠QNM=90°，且MN=NQ时，△MNQ为等腰直角三角形，
    同理可求点Q为（-
    		5
    ，0）或（2-
    		5
    ，0），
    当∠NQM=90°，且MQ=NQ时，△MNQ为等腰直角三角形，
    过Q作QE⊥MN于点E，则QE=
    1
    2
    MN=
    1
    2
    ×2(m-1)=|m2-2m-3|    ，
    ∵方程有解
    ∴由抛物线及等腰直角三角形的轴对称性，
    知点Q为（1，0），
    综上所述，满足存在满足条件的点Q，分别为（-
    		5
    ，0）或（
    		5
    ，0）或
    （2+
    		5
    ，0）或（2-
    		5
    ，0）或（1，0），
    答：存在，点Q的坐标分别为（-
    		5
    ，0）或（
    		5
    ，0）或（2+
    		5
    ，0）或（2-
    		5
    ，0）或（1，0）．
    点评：本题主要考查对用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的三种形式，二次函数的最值，解二元一次方程组，三角形的面积，等腰直角三角形的性质等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．题型较好，难度适中．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，CB∥OA，OA=7，AB=4，∠COA=60°，点P为x轴上的一个动点，但是点P不与点0、点A重合．连接CP，D点是线段AB上一点，连接PD．
    （1）求点B的坐标；
    （2）当∠CPD=∠OAB，且
    BD
    AB
    =
    5
    8
    ，求这时点P的坐标．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2012•渝北区一模）如图，在平面直角坐标xoy中，以坐标原点O为圆心，3为半径画圆，从此圆内（包括边界）的所有整数点（横、纵坐标均为整数）中任意选取一个点，其横、纵坐标之和为0的概率是
    5
    29
    5
    29
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，在平面直角坐标中，等腰梯形ABCD的下底在x轴上，且B点坐标为（4，0），D点坐标为（0，3），则AC长为
    5
    5
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，在平面直角坐标xOy中，已知点A（-5，0），P是反比例函数y=
    k
    x
    图象上一点，PA=OA，S△PAO=10，则反比例函数y=
    k
    x
    的解析式为（　　）

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，CB∥OA，OC=AB=4，BC=6，∠COA=45°，动点P从点O出发，在梯形OABC的边上运动，路径为O→A→B→C，到达点C时停止．作直线CP．
    （1）求梯形OABC的面积；
    （2）当直线CP把梯形OABC的面积分成相等的两部分时，求直线CP的解析式；
    （3）当△OCP是等腰三角形时，请写出点P的坐标（不要求过程，只需写出结果）．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案