Question

【题目】“双十一”淘宝网销售一款工艺品，每件的成本是50元．销售期间发现：销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件．但要求销售单价不得低于成本．设当销售单价为x元时，每天的销售利润为y元．

（1）求出y与x之间的函数表达式；

（2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？

（3）如果每天的销售利润不低于4000元，那么每天的总成本至少需要 元．

（每天的总成本=每件的成本×每天的销售量）

Answer 1

【答案】（1）y=-5x2+800x-27500（50≤x≤100）；（2）当x=80时，y最大值=4500；（3）5000．

【解析】

试题分析：（1）根据“利润=（售价-成本）×销售量”即可列出函数关系；

（2）把（1）中的二次函数解析式转化为顶点式，利用二次函数图象的性质求出顶点坐标即可；

（3）把y=4000代入函数解析式，求得相应的x值，求出此时的成本即可确定每天的总成本至少需要多少元．

试题解析：（1）y=（x-50）[50+5（100-x）] =（x-50）（-5x+550）=-5x2+800x-27500，

∴y=-5x2+800x-27500（50≤x≤100）；

（2）y=-5x2+800x-27500=-5（x-80）2+4500，

∵a=-5＜0，

∴抛物线开口向下．

∵50≤x≤100，对称轴是直线x=80，

∴当x=80时，y最大值=4500；

（3）当y=4000时，-5（x-80）2+4500=4000，

解得x1=70，x2=90．

∴当70≤x≤90时，每天的销售利润不低于4000元，

当x=70时，总成本为：50×（-5×70+550）=10000，

当x=90时，总成本为：50×（-5×90+550）=5000，

所以如果每天的销售利润不低于4000元，那么每天的总成本至少需要5000元．