Question

使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数y=x-1，令y=0，可得x=1，我们就说1是函数y=x-1的零点．
己知函数y=x²-2mx-2（m+3）（m为常数）．
（1）当m=0时，求该函数的零点；
（2）证明：无论m取何值，该函数总有两个零点；
（3）设函数的两个零点分别为x₁和x₂，且

1

x1

+

1

x2

=-

1

4

，此时函数图象与x轴的交点分别为A、B（点A在点B左侧），点M在直线y=x-10上，当MA+MB最小时，求直线AM的函数解析式．

Answer 1

分析：（1）根据题中给出的函数的零点的定义，将m=0代入y=x²-2mx-2（m+3），然后令y=0即可解得函数的零点；
（2）令y=0，函数变为一元二次方程，要想证明方程有两个解，只需证明△＞0即可；
（3）根据题中条件求出函数解析式进而求得A、B两点坐标，个、作点B关于直线y=x-10的对称点B′，连接AB′，求出点B′的坐标即可求得当MA+MB最小时，直线AM的函数解析式．

解答：解：（1）当m=0时，该函数的零点为

6

和-

6

；

（2）令y=0，得△=（-2m）²-4[-2（m+3）]=4（m+1）²+20＞0
∴无论m取何值，方程x²-2mx-2（m+3）=0总有两个不相等的实数根．
即无论m取何值，该函数总有两个零点．

（3）依题意有x₁+x₂=2m，x₁x₂=-2（m+3）
由

1

x1

+

1

x2

=-

1

4

，
解得m=1．
∴函数的解析式为y=x²-2x-8．
令y=0，解得x₁=-2，x₂=4
∴A（-2，0），B（4，0）
作点B关于直线y=x-10的对称点B′，连接AB′，
则AB’与直线y=x-10的交点就是满足条件的M点．
易求得直线y=x-10与x轴、y轴的交点分别为C（10，0），D（0，-10）．
连接CB′，则∠BCD=45°
∴BC=CB’=6，∠B′CD=∠BCD=45°
∴∠BCB′=90°
即B′（10，-6）
设直线AB′的解析式为y=kx+b，则

-2k+b=0 10k+b=-6

，
解得：k=-

1

2

，b=-1；
∴直线AB′的解析式为y=-

1

2

x-1，
即AM的解析式为y=-

1

2

x-1．

点评：本题是二次函数的综合题，其中涉及到的知识点方程有两个实数根的证明及动点问题等知识点，是各地中考的热点和难点，解题时注意数形结合等数学思想的运用，同学们要加强训练，属于中档题．