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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图①，在矩形 ABCD中，AB=30cm，BC=60cm．点P从点A出发，沿A→B→C→D路线向点D匀速运动，到达点D后停止；点Q从点D出发，沿 D→C→B→A路线向点A匀速运动，到达点A后停止．若点P、Q同时出发，在运动过程中，Q点停留了1s，图②是P、Q两点在折线AB-BC-CD上相距的路程S（cm）与时间t（s）之间的函数关系图象．
    （1）请解释图中点H的实际意义？
    （2）求P、Q两点的运动速度；
    （3）将图②补充完整；
    （4）当时间t为何值时，△PCQ为等腰三角形？请直接写出t的值．
    分析：（1）根据P、Q两点在折线AB-BC-CD上相距的路程S（cm）与时间t（s）之间的函数关系图象得出H点时两点相遇；
    （2）利用函数图象得出当两点在F点到G点两点路程随时间变化减慢得出此时Q点停留，只有P点运动，再利用纵坐标的值得出P点和Q点运动速度；
    （3）根据4秒后，P点到达D点，只有Q点运动，根据运动速度为15cm/s，还需要运动120-45=75（cm），则运动时间为：75÷15=5（s），进而画出图象即可；
    （4）根据Q，P的位置不同，进行分类讨论得出答案即可．
    解答：解：（1）图中点H的实际意义：P、Q两点相遇；

     （2）由函数图象得出，当两点在F点到G点两点路程随时间变化减慢得出此时Q点停留1秒，只有P点运动，此时纵坐标的值由75下降到45，
    故P点运动速度为：30cm/s，再根据E点到F点S的值由120变为75，根据P点速度，得出Q点速度为120-75-30=15（cm/s），
    即P点速度为30cm/s，Q点速度为 15cm/s；

     （3）如图所示：根据4秒后，P点到达D点，只有Q点运动，根据运动速度为15cm/s，
    还需要运动120-45=75（cm），则运动时间为：75÷15=5（s），画出图象即可；

       
    （4）如图1所示，
    当QP=PC，此时
    1
    2
    QC=BP，即30-30t=
    1
    2
    （30-15t），
    解得：t=
    2
    3
    ，
    故当时间t=
    2
    3
    s时，△PCQ为等腰三角形，
    如图2所示，
    当D，P重合，QD=QC时，
    Q为AB中点，则运动时间为：（15+60+30）÷15+1=8（s），
    故当时间t=8s时，△PCQ为等腰三角形．
    若PC=CQ
    故90-30t=30-15t
    解得：t=4
    则4+1=5（S）
    综上所述：t=
    2
    3
    或t=5或t=8秒时，△PCQ为等腰三角形．
    点评：此题主要考查了动点问题的函数图象，主要运用分类讨论的思想，函数的知识和等腰三角形的知识，具有很强的综合性．
    练习册系列答案
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图1，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P从A点出发，沿A→B→C→D路线运动，到D点停止；点Q从D点出发，沿D→C→B→A运动，到A点停止．若点P、点Q同时出发，点P的速度为每秒1cm，点Q的速度为每秒2cm，a秒时点P、点Q同时改变速度，点P的速度变为每秒b（cm），点Q的速度变为每秒c（cm）．如图2是点P出发x秒后△APD的面积S1（cm2）与x（秒）的函数关系图象；图3是点Q出发x秒后△AQD的面积S2（cm2）与x（秒）的函数关系图象．根据图象：
    （1）求a、b、c的值；
    （2）设点P离开点A的路程为y1（cm），点Q到点A还需要走的路程为y2（cm），请分别写出改变速度后y1、y2与出发后的运动时间x（秒）的函数关系式，并求出P与Q相遇时x的值．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    已知在△ABC中，AB=AC=6，且△ABC的面积是12．
    （1）①在图1中，求BD的长．②在图2中，P是BC的中点，求PM+PN．
    （2）图3中，对于BC边上任意一点P，请对点P到两腰距离和（PM+PN）与腰上高（CQ）的大小关系提出猜想，并加以证明．
    （3）如图4，在矩形ABCD中，P是CD边任意一点，AD=3，CD=4，请直接写出P到BD、AC的距离和PM+PN．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2012•溧水县二模）如图1，在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，点P、Q分别是AB边和CD边上的动点，点P从点A向点B运动，点Q从点C向点D运动，且保持AP=CQ．设AP=x．
    （1）当PQ∥AD时，x的值等于
    4
    4
    ；
    （2）如图2，线段PQ的垂直平分线EF与BC边相交于点E，连接EP、EQ，设BE=y，求y关于x的函数关系式；
    （3）在问题（2）中，设△EPQ的面积为S，求S关于x的函数关系式，并求当x取何值时，S的值最小，最小值是多少？

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    科目：初中数学 来源： 题型：阅读理解

    （2013•浙江一模）阅读并解答下列问题：

    问题一．如图1，在?ABCD中，AD=20，AB=30，∠A=60°，点P是线段AD上的动点，连PB，当AP=
    15
    15
    时，PB最小值为
    15
    		3
    15
    		3
    ．
    问题二．如图2，四边形ABCD是边长为20的菱形，且∠DAB=60°，P是线段AC上的动点，E在AB上，且AE=
    1
    4
    AB    ，连PE，PB，问当AP长为多少时，PE+PB的值最小，并求这个最小值．
    问题三．如图3，在矩形ABCD中，AB=20，CB=10，P，Q分别是线段AC，AB上的动点，问当AP长为多少时，PQ+PB的值最小，并求这个最小值．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2013•婺城区一模）如图1，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，点P是边AB上的一个动点（不与点A、点B重合），点Q在边AD上，将△CBP和△QAP分别沿PC、PQ折叠，使B点与E点重合，A点与F点重合，且P、E、F三点共线．

    （1）若点E平分线段PF，则此时AQ的长为多少？
    （2）若线段CE与线段QF所在的平行直线之间的距离为2，则此时AP的长为多少？
    （3）在“线段CE”、“线段QF”、“点A”这三者中，是否存在两个在同一条直线上的情况？若存在，求出此时AP的长；若不存在，请说明理由．

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