Question

如图，点p₁、P₂、P₃…P_n在函数y=

4

x

第一象限的图象上，点A₁、A₂、A₃…A_n在x轴的正半轴上，且△OA₁P₁、△A₁A₂P₂、△A₂A₃P₃、…..△A_n-1A_nP_n是等腰直角三角形，点A_n坐标为

（4

n

，0）

．

Answer 1

分析：由于△P₁OA₁是等腰直角三角形，可知直线OP₁的解析式为y=x，将它与y=

4

x

联立，求出方程组的解，得到点P₁的坐标，则A₁的横坐标是P₁的横坐标的两倍，从而确定点A₁的坐标；由于△P₁OA₁，△P₂A₁A₂都是等腰直角三角形，则A₁P₂∥OP₁，直线A₁P₂可看作是直线OP₁向右平移OA₁个单位长度得到的，因而得到直线A₁P₂的解析式，同样，将它与y=

4

x

联立，求出方程组的解，得到点P₂的坐标，则P₂的横坐标是线段A₁A₂的中点，从而确定点A₂的坐标；依此类推，从而确定点A_n的坐标．

解答：解：分别过P₁、P₂、P₃作x轴的垂线，垂足为H₁，
易知H₁（2，0）是OA₁的中点，
∴A₁（4，0），
可得P₁的坐标为（2，2），
∴P₁O的解析式为：y=x，
∵P₁O∥A₁P₂，
∴A₁P₂的表达式一次项系数相等，
将A₁（4，0）代入y=x+b，
∴b=4，
∴A₁P₂的表达式是y=x-4，
与y=

4

x

（x＞0）联立，解得P₂（2+2

2

，-2+2

2

）．
仿上，A₂（4

2

，0）．
P₃（2

2

+2

3

，-2

2

+2

3

），A₃（4

3

，0）．
依此类推，点A_n的坐标是（4

n

，0）．
故答案为：（4

n

，0）．

点评：此题主要考查了反比例函数的综合应用，找出求P点坐标的规律，以这个规律为基础求出P_n的横坐标，进而求出A_n的横坐标的值，从而可得出所求的结果．