Question

现有如图1的8张大小形状相同的直角三角形纸片，三边长分别是a、b、c．用其中4张纸片拼成如图2的大正方形（空白部分是边长分别为a和b的正方形）；用另外4张纸片拼成如图3的大正方形（中间的空白部分是边长为c的正方形）．

（一）观察：
从整体看，图2和图3的大正方形的面积都可以表示为（a+b）²，结论①依据整个图形的面积等于各部分面积的和．
图2中的大正方形的面积又可以用含字母a、b的代数式表示为：

a²+b²+2ab

，结论②
图3中的大正方形的面积又可以用含字母a、b、c的代数式表示为：

c²+2ab

，结论③
（二）思考：
结合结论①和结论②，可以得到一个等式

（a+b）²=a²+b²+2ab

；
结合结论②和结论③，可以得到一个等式

a²+b²=c²

；
（三）应用：
请你运用（二）中得到的结论任意选择下列两个问题中的一个解答：
（1）求1.46²+2×1.46×2.54+2.54²的值；
（2）若分别以直角三角形三边为直径，向外作半圆（如图4），三个半圆的面积分别记作S₁、S₂、S₃，且S₁+S₂+S₃=20，求S₂的值．
（四）延伸（本题作为附加题，做对加2分）
若分别以直角三角形三边为直径，向上作三个半圆（如图5），直角边a=5，b=12，斜边c=13，则表示图中阴影部分面积和的数值是：

A

  A．有理数     B．无理数     C．无法判断
请作出选择，并说明理由．

Answer 1

分析：（一）图2的大正方形的面积等于四个直角三角形的面积加上两个正方形的面积，图3的大正方形的面积等于四个直角三角形的面积加上中间空白正方形的面积；
（二）根据两种方法表示的大正方形的面积相等整理即可得解；
（三）（1）利用结论①进行计算即可得解；
（2）根据结论②求出S₁+S₃=S₂，然后进行计算即可得解；
（四）根据结论③求出阴影部分的面积等于直角三角形的面积，然后列式计算即可得解．

解答：解：（一）图2：a²+b²+4×

1

2

ab=a²+b²+2ab；
图3：c²+4×

1

2

ab=c²+2ab；

（二）结合结论①和结论②，可以得到一个等式：（a+b）²=a²+b²+2ab；
结合结论②和结论③，可以得到一个等式：（a+b）²=c²+2ab，
即，a²+b²=c²；

（三）（1）1.46²+2×1.46×2.54+2.54²，
=（1.46+2.54）²，
=4²，
=16；

（2）S₁=

1

2

π（

b

2

）²=

πb2

8

，S₂=

1

2

π（

c

2

）²=

πc2

8

，S₃=

1

2

π（

a

2

）²=

πa2

8

，
∵a²+b²=c²，
∴S₁+S₃=

πb2

8

+

πa2

8

=

π(a2+b2)

8

=

πc2

8

=S₂，
∵S₁+S₂+S₃=20，
∴2S₂=20，
解得S₂=10；

（四）阴影部分面积和=S₁+S₂+

1

2

ab-S₃=

1

2

ab，
∵a=5，b=12，
∴阴影部分面积和=

1

2

×5×12=30，
∵30是有理数，
∴选A．
故答案为：（一）a²+b²+2ab，c²+2ab；（二）（a+b）²=a²+b²+2ab，a²+b²=c²；（四）A．

点评：本题考查了勾股定理，完全平方公式的几何背景，读懂题目材料的信息并用两种方法准确表示出同一个图形的面积是解题的关键．