Question

如图，在△ABC中，∠BAC=60°，线段BP、BE三等分∠ABC，线段CP、CE三等分∠ACB，那么∠BPE的度数是

 

．

Answer 1

分析：根据三角形内角和为180度，设∠EBC=x，∠ECB=y，线段BP、BE三等分∠ABC，线段CP、CE三等分∠ACB，不难计算出∠BPC，再利用角平分线的定义解题，要注意PE也是角平分线．

解答：解：设∠EBC=x，∠ECB=y．
∵∠ABC+∠ACB=180°-60°=120°，
即3x+3y=120°，
∴x+y=40°．
∵BP，BE三等分∠ABC，CP，CE三等分∠ACB，
∴∠CBP+∠BCP=2x+2y=2（x+y）=80°．
在△BCP中
∵∠BPC=180°-∠CBP-∠BCP=180°-80°=100°，
又∵BE和CE是∠CBP和∠BCP的角平分线，
∴PE也一定是角平分线（三个角平分线交于一点），
∴∠BPE=

1

2

∠BPC=50°．

点评：主要考查了三角形的内角和外角之间的关系以及角平分线的定义：
（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和；
（2）三角形的内角和是180度．