Question

13．已知：△ABC中，D是AB中点，DE⊥AC于E，∠B=45°，tan∠A=$\frac{1}{2}$．
（1）求证：∠ADE=∠CDB；
（2）求EC：BC的值．

Answer 1

分析 （1）如图1，作BF⊥BA，交AC的延长线于F，利用已知条件证明△BDC≌△BFC，得到∠F=∠BDC，由∠A+∠ADE=∠F+∠A=90°，所以∠F=∠ADE，即可得到∠ADE=∠CDB；
（2）如图2，过C点作CM⊥AB，可得CM=BM，设CM=BM=x，则BC=$\sqrt{2}$x，由tan∠A=$\frac{1}{2}$易得AM的长，可得AD，BD，DM的长，利用勾股定理可得CD，AC的长，证得△AED∽△AMC，由相似三角形的性质易得DE，利用勾股定理可得CE，可得结果．

解答 解：（1）如图1，作BF⊥BA，交AC的延长线于F，∵BF⊥AB，∠ABC=45°，
∴∠ABC=∠CBF=45°，
∵D是AB中点，tan∠A=$\frac{1}{2}$，
∴BD=BF，
在△BDC和△BFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=BF}\\{∠ABC=∠CBF}\\{BC=BC}\end{array}\right.$，
∴△BDC≌△BFC，
∴∠F=∠BDC，
∵∠A+∠ADE=∠F+∠A=90°，
∴∠F=∠ADE，
∴∠ADE=∠CDB；

（2）如图2，过C点作CM⊥AB，
∵∠B=45°，
∴∠BCM=45°，
∴CM=BM，
设CM=BM=x，则BC=$\sqrt{2}$x，
∵tan∠A=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{CM}{AM}=\frac{1}{2}$，
∴AM=2x，
∴AB=3x，
∴AD=BD=$\frac{3}{2}x$，DM=$\frac{1}{2}x$，
在Rt△CMD中，
CD²=DM²+CM²=${（\frac{1}{2}x）}^{2}{+x}^{2}$=${\frac{5}{4}x}^{2}$，
在Rt△AMC中，AC=$\sqrt{{AM}^{2}{+CM}^{2}}$=$\sqrt{{（2x）}^{2}{+x}^{2}}$=$\sqrt{5}$x，
∵∠A=∠A，∠AED=∠AMC=90°，
∴△AED∽△AMC，
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{DE}{CM}$，
∴$\frac{\frac{3}{2}x}{\sqrt{5x}}=\frac{DE}{x}$，
∴DE=$\frac{3\sqrt{5}}{10}x$，
∴CE=$\sqrt{{{DC}^{2}-DE}^{2}}$=$\sqrt{\frac{{5x}^{2}}{4}-\frac{{9x}^{2}}{20}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}x$，
∴CE：BC=$\frac{2\sqrt{5}x}{5}$：$\sqrt{2}x$=2：$\sqrt{10}$．

点评 本题主要考查了全等三角形与相似三角形的性质及判定定理，作出恰当的辅助线构建直角三角形，利用方程思想是解答此题的关键．