Question

如图，在平面直角坐标系中，A（0、6）、B(2

3

、2），BC⊥x轴于C，直线OB交AC于P．
（1）以O为圆心，OP为半径作⊙O，判断直线AC与⊙O位置关系．
（2）过B作BD⊥y轴于D，以O为圆心作半径为r的⊙O，半径r使D在⊙O内，C在⊙O外，以B为圆心作⊙B，半径R，且⊙O和⊙B相切，求R、r范围．

Answer 1

分析：（1）由在平面直角坐标系中，A（0、6）、B(2

3

、2），BC⊥x轴于C，即可求得点C的坐标，然后利用待定系数法即可求得直线AC与OB的解析式，由它们的斜率即为-1，即可求得AC⊥OB，则可知直线AC与⊙O位置关系是相切；
（2）由过B作BD⊥y轴于D，求得点D的坐标，又由使D在⊙O内，C在⊙O外，即可求得r的范围，又由勾股定理求得OB的长，由⊙O和⊙B相切，即可求得R的范围．

解答：解：（1）∵在平面直角坐标系中，A（0、6）、B(2

3

、2），BC⊥x轴于C，
∴点C的坐标为（2

3

，0），
设直线OB的解析式为：y=kx，
∴2=2

3

k，
∴k=

3

3

x，
∴y=

3

3

x，
直线AC的解析式为：y=ax+b，
∴

b=6 2 3 a+b=0

，
解得：

a=- 3 b=6

∴y=-

3

x+6，
∵ak=-1，
∴AC⊥OB，
∴直线AC与⊙O位置关系是相切；

（2）过B作BD⊥y轴于D，
∴点D的坐标为（0，2），
∵以O为圆心作半径为r的⊙O，半径r使D在⊙O内，C在⊙O外，
∴2＜r＜2

3

，
在Rt△OBC中，
OB=

BC2+OC2

=

(2 3 )2+22

=4，
∵⊙O和⊙B相切，
∴R+r=4，
∴4-2

3

＜R＜2．
∴R、r范围分别为：2＜r＜2

3

，4-2

3

＜R＜2．

点评：此题考查了一次函数应用，圆的切线的性质，圆与圆的位置关系以及勾股定理等知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意待定系数法求函数解析式的方法．