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    如图，直线EF将矩形纸片ABCD分成面积相等的两部分，E、F分别与BC交于点E，与AD交于点F（E，F不与顶点重合），设AB=a，AD=b，BE=x．精英家教网
    （Ⅰ）求证：AF=EC；
    （Ⅱ）用剪刀将纸片沿直线EF剪开后，再将纸片ABEF沿AB对称翻折，然后平移拼接在梯形ECDF的下方，使一底边重合，直腰落在边DC的延长线上，拼接后，下方的梯形记作EE′B′C．
    （1）求出直线EE′分别经过原矩形的顶点A和顶点D时，所对应的x：b的值；
    （2）在直线EE′经过原矩形的一个顶点的情形下，连接BE′，直线BE′与EF是否平行？你若认为平行，请给予证明；你若认为不平行，请你说明当a与b满足什么关系时，它们垂直？
    分析：（Ⅰ）由AB=a，AD=b，BE=x，S梯形ABEF=S梯形CDFE，结合梯形的面积公式可证得AF=EC；
    （Ⅱ）（1）根据题意，画出图形，结合梯形的性质求得x：b的值；
    （2）直线EE′经过原矩形的顶点D时，可证明四边形BE′EF是平行四边形，则BE′∥EF；当直线EE′经过原矩形的顶点A时，BE′与EF不平行．
    解答：（Ⅰ）证明：∵AB=a，AD=b，BE=x，S梯形ABEF=S梯形CDFE，
    ∴
    1
    2
    a（x+AF）=
    1
    2
    a（EC+b-AF），
    ∴2AF=EC+（b-x）．
    又∵EC=b-x，
    ∴2AF=2EC．
    ∴AF=EC．

    （Ⅱ）解：（1）当直线EE′经过原矩形的顶点D时，如图（一）
    ∵EC∥E′B′，
    ∴
    EC
    E′B′
    =
    DC
    DB′
    ，
    由EC=b-x，E′B′=EB=x，DB′=DC+CB′=2a，精英家教网
    得
    b-x
    x
    =
    a
    2a
    ，
    ∴x：b=
    2
    3
    ．
    当直线E′E经过原矩形的顶点A时，如图（二）
    在梯形AE′B′D中，
    ∵EC∥E′B′，点C是DB′的中点，
    ∴CE=
    1
    2
    （AD+E′B′），
    即b-x=
    1
    2
    （b+x），
    ∴x：b=
    1
    3
    ．

    （2）如图（一），当直线EE′经过原矩形的顶点D时，BE′∥EF，
    证明：连接BF，
    ∵FD∥BE，FD=BE，
    ∴四边形FBED是平行四边形，
    ∴FB∥DE，FB=DE，精英家教网
    又∵EC∥E′B′，点C是DB′的中点，
    ∴DE=EE′，
    ∴FB∥EE′，FB=EE′，
    ∴四边形BE′EF是平行四边形，
    ∴BE′∥EF．
    如图（二），当直线EE′经过原矩形的顶点A时，显然BE′与EF不平行，
    设直线EF与BE′交于点G，过点E′作E′M⊥BC于M，则E′M=a，
    ∵x：b=
    1
    3
    ，
    ∴EM=
    1
    3
    BC=
    1
    3
    b，
    若BE′与EF垂直，则有∠GBE+∠BEG=90°，
    又∵∠BEG=∠FEC=∠MEE′，∠MEE′+∠ME′E=90°，
    ∴∠GBE=∠ME′E，
    在Rt△BME′中，tan∠E′BM=tan∠GBE=
    E′M
    BM
    =
    a
    2
    3
    b
    ，
    在Rt△EME′中，tan∠ME′E=
    EM
    E′M
    =
    1
    3
    b
    a
    ，
    ∴
    a
    2
    3
    b
    =
    1
    3
    b
    a
    ．
    又∵a＞0，b＞0，
    a
    b
    =
    		2
    3
    ，
    ∴当
    a
    b
    =
    		2
    3
    时，BE′与EF垂直．
    点评：本题是道根据平移的性质、梯形的性质和平行四边形的性质结合求解的综合题，解题复杂，难度大．考查学生综合运用数学知识的能力．
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