Question

（2013•本溪二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx经过B（8、0），C（6、2

3

）两点，点A是点C关于抛物线y=ax²+bx的对称轴的对称点，连接OA、AC、BC

（1）求抛物线的解析式．
（2）动点E从点O出发，速度为3个单位/秒，沿O→A→C匀速运动：动点F从点O出发，速度为4个单位/秒，沿O→B匀速运动，动点E、F同时出发，若设运动时间为t秒（0≤t≤2），△OEF的面积为S，请求出运动过程中S与t的关系式．
（3）设P是抛物线对称轴上的一点，是否存在点P使以O、E、F、P为顶点的四边形是平行四边形？若不存在，请说明理由；若存在，直接写出点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）把点B（8、0），C（6、2

3

）代入抛物线y=ax²+bx，求得抛物线的解析式；
（2）分情况探讨：①当动点E在OA上运动；②动点E在AC上运动；结合A点的坐标特点以及锐角三角函数解答；
（3）利用平行四边形的判定探讨：OE∥PF，OE=PF，进一步利用一次函数和锐角三角函数解决问题得出结论即可．

解答：解：（1）把点B（8、0），C（6、2

3

）代入抛物线y=ax²+bx，得

64a+8b=0 36a+6b=2 3

，
解得

a=- 3 6 b= 4 3 3

∴抛物线y=-

3

6

x²+

4

3

3

x；

（2）抛物线y=-

3

6

x²+

4

3

3

x的对称轴为x=4，
∴A（2，2

3

）
∴OA=4，AC=4，∠AOB=60°
当0≤t≤

4

3

时，
S_△EOF=

1

2

×OF×OE×sin60°
=

1

2

×4t×3t×

3

2

=3

3

t²；
当

4

3

≤t≤2时
S_△EOF=

1

2

×OF×2

3

=

1

2

×4t×2

3

=4

3

t；

（3）存在，如图

y_OE=

3

x，设P（4，y）则y=

3

（x-4t）
OE=PF，由（2）得3t=2（4-4t）
解得t=

8

11

，则y=

3

（x-4t）=

36

11

3

，
点P为（4，

36

11

3

）
如图可知3t=2（4t-4）
解得t=

8

5

，
则y=

3

（x-4t）=-

12

5

3

，
点P为（4，-

12

5

3

）．

综上所知点P的坐标为：（4，

36

11

3

）、（4，-

12

5

3

）．

点评：此题综合考查待定系数法求二次函数、锐角三角函数、二次函数的对称性、一次函数、平行四边形的性质等知识点．