Question

24、如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E为AD中点，连接BE，CE
（1）求证：BE=CE；
（2）若∠BEC=90°，过点B作BF⊥CD，垂足为点F，交CE于点G，连接DG，求证：BG=DG+CD．

Answer 1

分析：（1）由已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E为AD中点，可推出△BAE≌△CDE，得证．
（2）首先延长CD和BE交点H，通过证明三角形全等，证得BG=DG+CD．

解答：解：（1）证明：已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E为AD中点，
∴AB=DC，∠BAE=∠CDE，AE=DE，
∴△BAE≌△CDE，
∴BE=CE；

（2）证明：延长CD和BE交点H，
∵BF⊥CD，∠BEC=90°，
∴∠EBF+∠H=∠ECH+∠H=90°，
∴∠EBF=∠ECH，
又∠BEF=∠CEH=90°，
BE=CE（已证），
∴△BEG≌CEH，
∴EG=EH，BG=CH=DH+CD，EG=EH，
∵△BAE≌△CDE（已证），
∴∠AEB=∠GED，
∠HED=∠AEB，
∴∠GED=∠HED，
又EG=EH（已证），ED=ED，
∴△GED≌△HED，
∴DG=DH，
∴BG=DG+CD．

点评：此题考查的知识点是等腰梯形的性质和全等三角形的判定与性质，此题的关键是由等腰梯形的性质证明三角形全等推出结论．