Question

【题目】在矩形ABCD中，AD＝2AB，E是AD的中点，一块三角板的直角顶点与点E重合，两直角边与AB、BC分别交于点M、N，求证：BM＝CN．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

由题意可得AE＝DE＝AB＝CD，∠ABE＝∠AEB＝∠DEC＝∠DCE＝45°，可证△ABE≌△DCE，可得BE＝CE，由“ASA”可证△BEM≌△CEN，可得BM＝CN．

证明：如图，连接BE，CE，

∵四边形ABCD是矩形

∴AB＝CD，∠A＝∠D＝90°

∵AD＝2AB，E是AD的中点，

∴AE＝DE＝AB＝CD

∴∠ABE＝∠AEB＝∠DEC＝∠DCE＝45°，

∴∠BEC＝180°﹣∠AEB﹣∠DEC＝90°

∵AB＝CD，∠ABE＝∠AEB＝∠DEC＝∠DCE＝45°，

∴△ABE≌△DCE（AAS）

∴BE＝CE，

∵∠BEN+∠CEN＝90°，∠BEM+∠BEN＝90°，

∴∠BEM＝∠CEN，且BE＝CE，∠ABE＝∠ECN，

∴△BEM≌△CEN（ASA）

∴BM＝CN