Question

【题目】观察猜想：（1）如图①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝3，点D与点A重合，点E在边BC上，连接DE，将线段DE绕点D顺时针旋转90°得到线段DF，连接BF，BE与BF的位置关系是　 　，BE+BF＝　 　；

探究证明：（2）在（1）中，如果将点D沿AB方向移动，使AD＝1，其余条件不变，如图②，判断BE与BF的位置关系，并求BE+BF的值，请写出你的理由或计算过程；

拓展延伸：（3）如图③，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝a，点D在边BA的延长线上，BD＝n，连接DE，将线段DE绕着点D顺时针旋转，旋转角∠EDF＝a，连接BF，则BE+BF的值是多少？请用含有n，a的式子直接写出结论．

Answer 1

【答案】观察猜想：（1）BF⊥BE，BC；探究证明：（2）BF⊥BE，BF+BE＝，见解析；拓展延伸：（3）BF+BE＝.

【解析】

（1）只要证明△BAF≌△CAE，即可解决问题；

（2）如图②中，作DH∥AC交BC于H．利用（1）中结论即可解决问题；

（3）如图③中，作DH∥AC交BC的延长线于H，作DM⊥BC于M．只要证明△BDF≌△HDE，可证BF+BE＝BH，即可解决问题.

（1）如图①中，

∵∠EAF＝∠BAC＝90°，

∴∠BAF＝∠CAE，

∵AF＝AE，AB＝AC，

∴△BAF≌△CAE，

∴∠ABF＝∠C，BF＝CE，

∵AB＝AC，∠BAC＝90°，

∴∠ABC＝∠C＝45°，

∴∠FBE＝∠ABF+∠ABC＝90°，BC＝BE+EC＝BE+BF，

故答案为BF⊥BE，BC；

（2）如图②中，作DH∥AC交BC于H，

∵DH∥AC，

∴∠BDH＝∠A＝90°，△DBH是等腰直角三角形，

由（1）可知，BF⊥BE，BF+BE＝BH，

∵AB＝AC＝3，AD＝1，

∴BD＝DH＝2，

∴BH＝2，

∴BF+BE＝BH＝2；

（3）如图③中，作DH∥AC交BC的延长线于H，作DM⊥BC于M，

∵AC∥DH，

∴∠ACH＝∠H，∠BDH＝∠BAC＝α，

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB

∴∠DBH＝∠H，

∴DB＝DH，

∵∠EDF＝∠BDH＝α，

∴∠BDF＝∠HDE，

∵DF＝DE，DB＝DH，

∴△BDF≌△HDE，

∴BF＝EH，

∴BF+BE＝EH+BE＝BH，

∵DB＝DH，DM⊥BH，

∴BM＝MH，∠BDM＝∠HDM，

∴BM＝MH＝BDsin．

∴BF+BE＝BH＝2nsin．