Question

【题目】如图，在中，，是边上的中点，是边上任意一点，且．若点关于直线的对称点恰好落在的中位线上，则__________．

Answer 1

【答案】或

【解析】

取BC、AB的中点H、G，连接MH、HG、MG．分三种情形：①如图1中，当点C′落在MH上时；②如图2中，当点C′落在GH上时；③如图3中，当点C′落在直线GM上时，分别求解即可解决问题.

∵

∴AB=20,

取BC、AB的中点H、G，连接MH、HG、MG．
如图1中，当点C′落在MH上时，设NC=NC′=x，

∵MH是△ABC的中位线，

∴MC=MC′=8，MH=10，

∴ HC′=10-8=2，HN=6-x，
在Rt△HNC′中，∵HN2=HC′2+NC′2，
∴（6-x）2=x2+22，
解得x=．
如图2中，当点C′落在GH上时，设NC=NC′=x，

在Rt△GMC′中，MG=CH=6，MC=MC′=8，
∴GC′=，
∵∠NHC'=∠C'GM=90°，∠NC'M=90°，
∴∠HNC'+∠HC'N=∠GC'M+∠HC'N=90°，
∴∠HNC'=∠CGC'M，
∴△HNC′∽△GC′M，
∴，
∴，
∴．
如图3中，当点C′落在直线GM上时，易证四边形MCNC′是正方形，可得CN=CM=8．

∴C'M＞GM，
此时点C′在中位线GM的延长线上，不符合题意．
综上所述，满足条件的线段CN的长为或．
故答案为：或．