Question

已知；在Rt△ABC中，点O是斜边AB的中点，CD⊥AB于D点，DE⊥OC于E点，如果AD、DB和CD都是有理数，那么下列四句话正确的是（　　）
甲：线段OD的长是有理数．乙：线段OE的长是有理数．
丙：线段DE的长是有理数．丁：图中所有的线段的长都是有理数．

• A、只有甲、乙是正确的
• B、只有甲、乙、丙是正确的
• C、只有甲、丙是正确的
• D、甲、乙、丙、丁都是正确的

Answer 1

分析：由于∠ACB=90°，AB=AD+BD，AD、DB和CD都是有理数，OC是中线，那么AB是有理数，且OA=OB=OC=

1

2

AB，
于是OA、OB、OC是有理数，根据图可知OD=OA-AD，那么OD是有理数；又在△CDO中，∠CDO=90，DE⊥OC，
于是△OED∽△ODC，利用相似三角形的性质可得OE：OD=OD：OC，DE：OD=CD：OC，即OE=

OD2

OC

，DE=

OD•CD

OC

，从而可知OE、DE是有理数．

解答：解：∵AD、DB和CD都是有理数，OC是中线，
又∠ACB=90°，AB=AD+BD，
∴AB是有理数，OA=OB=OC=

1

2

AB，
故OA、OB、OC是有理数，
∵OD=OA-AD，
∴OD是有理数，
在△CDO中，
∵∠CDO=90°，DE⊥OC，
∴△OED∽△ODC，
∴OE：OD=OD：OC，DE：OD=CD：OC，
∴OE=

OD2

OC

，DE=

OD•CD

OC

，
∵OD、OC、CD是有理数，
∴OE、DE是有理数．
故选B．

点评：本题考查了相似三角形的判定和性质、有理数的加减乘除运算、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．注意几个有理数的加减乘除的结果还是有理数．