Question

已知抛物线y=x²-（m+4）x+4m与y轴交于点C．
（1）求证：此抛物线与x轴必有交点；
（2）当与x轴只有一个交点（设为A）时，求过A、C两点的直线的解析式；
（3）当与x轴有两个交点（设为A、B）时，如果△AOC与△BOC相似，求此抛物线的解析式．

Answer 1

分析：（1）由△=（m+4）²-16m=（m-4）²，即可得此抛物线与x轴必有交点；
（2）由与x轴只有一个交点（设为A）时，m=4，解析式为y=x²-8x+16，即可求得点A与C的坐标，利用待定系数法即可求得过A、C两点的直线的解析式；
（3）令y=0，则x²-（m+4）x+4m=0，得x₁=4，x₂=m，然后设A（4，0），B（m，0），C（0，4m），由△AOC与△BOC相似，根据相似三角形的对应边成比例，即可得

AO

OC

=

BO

OC

或

AO

OC

=

OC

BO

，再分别从m=0、m＞0与m＜0去分析，即可求得抛物线的解析．

解答：解：（1）证明：∵△=（m+4）²-16m=（m-4）²，
∴△≥0，
∴此抛物线与x轴必有交点；

（2）当只有一个交点时，m=4，解析式为y=x²-8x+16，
∴A（4，0），C（0，16），
设直线AC为y=kx+16，
∴k=-4，即直线AC为y=-4x+16；

（3）令y=0，则x²-（m+4）x+4m=0，
得x₁=4，x₂=m，
设A（4，0），B（m，0），C（0，4m），
∵△AOC与△BOC相似，∠AOC=∠BOC=90°，
∴

AO

OC

=

BO

OC

或

AO

OC

=

OC

BO

，
①当m=0时，△BOC不存在，所以不予考虑，
②当m＞0时，AO=4，CO=4m，BO=m，则

4

4m

=

m

4m

或

4

4m

=

4m

m

，
得m=4或

1

4

，
当m=4时，A、B重合，舍去．
∴抛物线解析式为：y=x²-

17

4

x+1，
③当m＜0时，AO=4，CO=-4m，BO=-m，则

4

-4m

=

-m

-4m

或

4

-4m

=

-4m

-m

，
得m=-4或m=-

1

4

，
∴抛物线解析式为y=x²-16或y=x²-

15

4

x-1．

点评：此题考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数与一元二次方程的关系，判别式的应用以及相似三角形的性质等知识．此题综合性很强，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．