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据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连接得一个直角三角形，如果勾是三、股是四，那么弦就等于五．后人概括为“勾三，股四，弦五”．
（1）观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．计算

（9-1）、

（9+1）与

（25-1）、

（25+1），并根据你发现的规律，分别写出能表示7，24，25的股和弦的算式；
（2）根据（1）的规律，用n（n为奇数且n≥3）的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合情猜想他们之间二种相等关系并对其中一种猜想加以证明；
（3）继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过．运用类似上述探索的方法，直接用m（m为偶数且m＞4）的代数式来表示他们的股和弦．

分析：（1）根据所提供的例子发现股是勾的平方减去1的二分之一，弦是勾的平方加1的二分之一；
（2）股是勾的平方减去4的四分之一，弦是勾的平方加4的四分之一．

解答：解：（1）∵

（9-1）=4，

（9+1）=5；

（25-1）=12，

（25+1）=13；
∴7，24，25的股的算式为

（49-1）=

（7²-1）
弦的算式为

（49+1）=

（7²+1）；（4分）

（2）当n为奇数且n≥3，勾、股、弦的代数式分别为：n，

（n²-1），

（n²+1）．（7分）
例如关系式①：弦-股=1；关系式②：勾²+股²=弦²（9分）
证明关系式①：弦-股=

（n²+1）-

（n²-1）=

[（n²+1）-（n²-1）]=1
或证明关系式②：勾²+股²=n²+[

（n²-1）]²=

n⁴+

n²+

（n²+1）²=弦²∴猜想得证；（12分）

（3）例如探索得，当m为偶数且m＞4时，股、弦的代数式分别为：(

)2-1，(

)2+1．（14分）
另加分问题，
例如：连接两组勾股数中，上一组的勾、股与下一组的勾的和等于下一组的股．
即上一组为：n，

（n²-1），

（n²+1）（n为奇数且n≥3），
分别记为：A₁、B₁、C₁，
下一组为：n+2，

[（n+2）²-1]，

[（n+2）²+1]（n为奇数且n≥3），
分别记为：A₂、B₂、C₂，
则：A₁+B₁+A₂=n+

（n²-1）+（n+2）=

（n²+4n+3）=

[（n+2）²-1]=B₂．
或B₁+C₂=B₂+C₁（证略）等等．

点评：注意由具体例子观察发现规律，证明的时候熟练运用完全平方公式．

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科目：初中数学 来源： 题型：

据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连接得到一个直角三角形，如果勾是三，股是四，那么弦就等于五．后人概括为“勾三、股四、弦五”．
（1）观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，小明发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，
当勾=3时，股4=

（9-1），弦5=

（9+1）；
当勾=5时，股12=

（25-1），弦13=

（25+1）；
------
请你根据小明发现的规律用n（n为奇数且n≥3）的代数式来表示所有这些勾股数的勾

、股

、弦

，并猜想他们之间的相等关系（写二种）并对其中一种猜想加以证明；
（2）继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过．请你直接用m（m为偶数且m≥4）的代数式来表示他们的股和弦．

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科目：初中数学 来源： 题型：解答题

据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连接得到一个直角三角形，如果勾是三，股是四，那么弦就等于五．后人概括为“勾三、股四、弦五”．
（1）观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，小明发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，
当勾=3时，股4= $数学公式$ （9-1），弦5= $数学公式$ （9+1）；
当勾=5时，股12= $数学公式$ （25-1），弦13= $数学公式$ （25+1）；
------
请你根据小明发现的规律用n（n为奇数且n≥3）的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦__，并猜想他们之间的相等关系（写二种）并对其中一种猜想加以证明；
（2）继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过．请你直接用m（m为偶数且m≥4）的代数式来表示他们的股和弦．

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科目：初中数学 来源：2010年江苏省泰州市泰兴市五校联考中考数学模拟试卷（解析版） 题型：解答题

（2004•三明）据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连接得一个直角三角形，如果勾是三、股是四，那么弦就等于五．后人概括为“勾三，股四，弦五”．
（1）观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．计算