Question

如图，三角形ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CE∥AB交MN于E连结AE、CD．
（1）求证：OD=OE；
（2）请判断四边形ADCE的形状，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据中垂线的性质：中垂线上的点线段两个端点的距离相等，得出AE=CE，AD=CD，OA=OC，∠AOD=∠EOC=90°，由CE∥AB，得到∠DAO=∠ECO，利用AAS证明△ADO≌△CEO，即可得出OD=OE；
（2）由一组对边平行且相等知，四边形ADCE是平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形得平行四边形ADCE是菱形．

解答：（1）证明：∵MN是AC的垂直平分线，
∴OA=OC，∠AOD=∠EOC=90°．
∵CE∥AB，
∴∠DAO=∠ECO，
在△ADO与△CEO中，

∠DAO=∠ECO ∠AOD=∠EOC=90° OA=OC

∴△ADO≌△CEO（AAS），
∴OD=OE；

（2）解：四边形ADCE是菱形．理由如下：
由（1）得OA=OC，OD=OE，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵AC⊥DE，
∴平行四边形ADCE是菱形．

点评：本题考查了中垂线的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，证明△ADO≌△CEO，得出OD=OE是解题的关键．