Question

如图，点D在△ABC的边BC上，且与B，C不重合，过点D作AC的平行线DE交AB于E，作AB的平行线DF交AC于点F．又知BC=5．
（1）设△ABC的面积为S．若四边形AEFD的面积为

2

5

S；求BD长．
（2）若AC=

2

AB；且DF经过△ABC的重心G，求E，F两点的距离．

Answer 1

分析：（1）由题中条件可得△BDE∽△BCA∽△DCF，由相似三角形可得其面积比与对应边长的比的关系，进而再由题中的已知条件，求解其长度即可；
（2）由平行线可得对应线段的比，通过线段之间的转化以及角的相等，可得△DEF∽△ABC，由其对应边成比例可得线段EF的长．

解答：解：如图，

（1）∵DE∥AC，DF∥AB，
∴△BDE∽△BCA∽△DCF，
记S_△BDE=S₁，S_△DCF=S₂，
∵S_AEFD=

2

5

S，
∴S₁+S₂=S-

2

5

S=

3

5

S．①

S1

S

=

BD

BC

，

S2

S

=

CD

BC

，
于是

S1

S

+

S2

S

=

BD+CD

BC

=1，即

S1

+

S2

=

S

，
两边平方得S=S₁+S₂+2

S1S2

，
故2

S1S2

=S_AEFD=

2

5

S，即S₁S₂=

1

25

S²．②
由①、②解得S₁=

3± 5

10

S，即

S1

S

=

3± 5

10

．
而

S1

S

=(

BD

BC

)2，即

3± 5

10

=(

BD

5

)2，解得BD=

30±10 5

2

=

(5± 5 )2

2

=

5± 5

2

．

（2）由G是△ABC的重心，DF过点G，且DF∥AB，可得

CD

CB

=

2

3

，则DF=

2

3

AB．
由DE∥AC，

CD

CB

=

2

3

，得DE=

1

3

AC，
∵AC=

2

AB，∴

AC

AB

=

2

，

DF

ED

=

2AB

2AB

=

2

，
得

DF

DE

=

AC

AB

，即

DF

AC

=

DE

AB

，
又∠EDF=∠A，故△DEF∽△ABC，
得

EF

BC

=

DE

AB

，所以EF=

5 2

3

．

点评：本题主要考查了相似三角形的判定及性质以及三角形的重心的一些基本知识，能够掌握并熟练运用．