Question

（2006•福州质检）如图，直角三角形A₁B₁C₁中，∠C₁=90°，点A、A₁在y轴上，且AO=2A₁O，连接B₁O并延长至B，使BO=2B₁O，请用尺规完成下列作图：连接C₁O并延长至C，使CO=2C₁O，连接AB、BC、CA，则△A₁B₁C₁

∽

△ABC（填≌或∽），若∠B₁A₁C₁=30°，A₁（0，-1.5），C₁（-

3

，-1.5），则△ABC中，边AB的长是

4

．

Answer 1

分析：根据OC=2OC₁，画出C点，连接即可得出三角形ABC，证△AOB∞△A₁OB₁，求出

AB

A1B1

=2，同理求出

AC

A1C1

=

BC

B1C1

=2即可；根据C₁的坐标求出A₁C₁的值，根据含30度角的直角三角形性质和勾股定理求出A₁B₁的值，根据比例式求出即可．

解答：解：如图所示：△ACB是所求三角形，
∵

OA

OA1

=

OB

OB1

=2，∠AOB=A₁OB₁，
∴△AOB∽△A₁OB₁，
∴

AB

A1B1

=

OA

OA1

=2，
同理：

AC

A1C1

=

OA

OA1

=2，

BC

B1C1

=

OC

OC1

=

OA

OA1

=2，
∴

BA

A1B1

=

BC

B1C1

=

AC

A1C1

=2，
∴△ABC∽△A₁B₁C₁，
∵C₁（-

3

，-1.5），∠B₁A₁C₁=30°，
∴A₁C₁=

3

，B₁C₁=1，A₁B₁=2，
∴AB=2A₁B₁=4，
故答案为：∽，4．

点评：本题考查了相似三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形，勾股定理，坐标与图形性质等知识点，主要是检查学生能否熟练地运用相似三角形的性质和判定进行推理，题型较好，比较典型．难度适中．