Question

14．如图，已知四边形ABDE是平行四边形，C为边BD延长线上的一点，连接AC，CE，使AB=AC．
（1）求证：△BDA≌△AEC；
（2）若∠B=30°，∠ADC=60°，BD=10．求?ABDE的面积．

Answer 1

分析 （1）由等腰三角形的性质得出∠B=∠ACB，由平行四边形的性质得出BD=AE，BD∥AE，得出∠ACB=∠EAC，证出∠B=EAC，由SAS证明△BDA≌△AEC即可；
（2）由三角形的外角性质得出∠B=∠BAD，得出BD=AD=10，作DM⊥AB于M，由含30°角的直角三角形的性质得出DM=$\frac{1}{2}$BD=5，得出BM=$\sqrt{3}$DM=5$\sqrt{3}$，AB=2BM=10$\sqrt{3}$，∴?ABDE的面积=AB•DM，即可得出结果．

解答 （1）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵四边形ABDE是平行四边形，
∴BD=AE，BD∥AE，
∴∠ACB=∠EAC，
∴∠B=EAC，
在△BDA和△AEC中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠B=∠EAC}\\{BD=AE}\end{array}\right.$，
∴△BDA≌△AEC（SAS）；
（2）解：∵∠B=30°，∠ADC=60°，
∴∠BAD=30°，
∴∠B=∠BAD，
∴BD=AD=10，
作DM⊥AB于M，则∠BMD=90°，
∴DM=$\frac{1}{2}$BD=5，
∴BM=$\sqrt{3}$DM=5$\sqrt{3}$，
∴AB=2BM=10$\sqrt{3}$，
∴?ABDE的面积=AB•DM=10$\sqrt{3}$×5=50$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、平行四边形面积的计算；熟练掌握平行四边形的性质，通过作辅助线求出AB、DM是解决（2）的关键．