【题目】已知直线与直线的交点为,圆.
(1)求过的交点,且在两坐标轴上截距相等的直线方程;
(2)过点做圆的切线,求切线方程.
【答案】(1)或;(2)或.
【解析】
(1)直线方程联立可求得,分别讨论直线过原点和不过原点两种情况,从而求得直线方程;
(2)由圆的方程可确定圆心和半径;分别讨论过的切线斜率存在和不存在两种情况,可知当斜率不存在时满足题意;当切线斜率存在时,利用圆心到直线距离等于半径可构造方程求得斜率,进而得到切线方程.
(1)由得:,
①直线过原点,则方程为:;
②若直线不过原点,设方程为,
将点代入该方程得:,故直线方程为.
综上所述:直线方程为或.
(2)圆方程可整理为:,则圆心,半径
①当斜率不存在时,直线方程为,为圆的切线,满足题意;
②当切线斜率存在时,设方程为,即,
圆心到直线的距离,解得:,
切线方程为.
综上所述:切线方程为或.
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【题目】已知直线上有一动点,过点作直线垂直于轴,动点在上,且满足(为坐标原点),记点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程;
(2)已知定点,,为曲线上一点,直线交曲线于另一点,且点在线段上,直线交曲线于另一点,求的内切圆半径的取值范围.
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【题目】为了了解一个小水库中养殖的鱼的有关情况,从这个水库中多个不同位置捕捞出100条鱼,称得每条鱼的质量(单位:kg),并将所得数据分组,画出频率分布直方图(如图所示).
(1)在下面表格中填写相应的频率;
分组 | 频率 |
(2)估计数据落在中的概率;
(3)将上面捕捞的100条鱼分别作一记分组频率号后再放回水库.几天后再从水库的多处不同位置捕捞出120条鱼,其中带有记号的鱼有6条.请根据这一情况来估计该水库中鱼的总条数.
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【题目】已知函数,其中.
(1)若曲线在点处的切线方程为,求函数的解析式;
(2)讨论函数的单调性;
(3)若对于任意的,不等式在上恒成立,求的取值范围.
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【题目】下图是一块平行四边形园地,经测量,.拟过线段上一点 设计一条直路(点在四边形的边上,不计直路的宽度),将该园地分为面积之比为的左,右两部分分别种植不同花卉.设(单位:m).
(1)当点与点重合时,试确定点的位置;
(2)求关于的函数关系式;
(3)试确定点的位置,使直路的长度最短.
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【题目】古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现:“平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆”.后来,人们将这个圆以他的名字命名,称为阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆在平面直角坐标系中,点.设点的轨迹为,下列结论正确的是( )
A. 的方程为
B. 在轴上存在异于的两定点,使得
C. 当三点不共线时,射线是的平分线
D. 在上存在点,使得
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