Question

已知，点.

（Ⅰ）若,求函数的单调递增区间；

（Ⅱ）若函数的导函数满足：当时，有恒成立，求函数 的解析表达式；

（Ⅲ）若，函数在和处取得极值，且，证明： 与不可能垂直。

Answer 1

解：(Ⅰ) ,

令得，解得

故的增区间和

（Ⅱ）(x)=

当x∈[-1，1]时，恒有|(x)|≤.         

故有≤(1)≤，≤(-1)≤，

及≤(0)≤,                                                      

即       

①+②，得≤≤，                                        

又由③，得=，将上式代回①和②，得

故.                                                 

（Ⅲ）假设⊥，

即=

故(s-a)(s-b)(t-a)(t-b)=-1
[st-(s+t)a+a²][st-(s+t)b+b²]=-1,

由s，t为(x)=0的两根可得，s+t=(a+b), st=, (0<a<b)

从而有ab(a-b)²=9.   

这样

即 ≥2，这与<2矛盾.

故与不可能垂直.