Question

【题目】在平面直角坐标系中，，设的内切圆分别与边相切于点，已知，记动点的轨迹为曲线.

(1)求曲线的方程;

(2)过的直线与轴正半轴交于点，与曲线E交于点轴，过的另一直线与曲线交于两点，若，求直线的方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）或.

【解析】

（1）由内切圆的性质可知，，，转化，利用椭圆定义求椭圆方程；

（2）先求点的坐标，判断，再由，求得，所以，求得，再分斜率存在和斜率不存在两种情况，当斜率存在时，设直线与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，并且根据求斜率.

解:(1)由内切圆的性质可知，，，

.

所以曲线是以为焦点，长轴长为的椭圆(除去与轴的交点).

设曲线则，

即

所以曲线的方程为.

(2)因为轴，所以，设，

所以，所以，则

因为，所以，

所以

所以，所以

设则

，所以

①直线斜率不存在时， 方程为

此时，不符合条件舍去.

②直线的斜率存在时，设直线的方程为.

联立，得

所以，

将代入得

，所以.

所以，

所以直线的方程为或.