Question

（本题14分）已知函数在处取得极值，且在处的切线的斜率为1。

（Ⅰ）求的值及的单调减区间；

（Ⅱ）设＞0，＞0，，求证：。

 

Answer 1

【答案】

 

【解析】

试题分析：解：（Ⅰ） 

，∴ ，即，∴

∴  ，又，∴ ，∴

综上可知   

，定义域为＞0， 

由＜0 得 0＜＜，∴的单调减区间为……………6分

（Ⅱ）先证

即证

即证：

令 ，∵＞0，＞0 ，∴ ＞0，即证

令 则

∴

 

① 当＞，即0＜＜1时，＞0，即＞0

在（0，1）上递增，∴＜＝0，

② 当＜，即＞1时，＜0，即＜0

在（1，＋∞）上递减，∴＜＝0，

③ 当＝，即＝1时，＝＝0

综合①②③知即

即

又

∴  

综上可得    ……………14分

考点：导数，极值，函数与不等式

点评：对于导数在研究函数中的运用，关键是利用导数的符号判定单调性，进而得到极值，和最值， 证明不等式。属于中档题。