Question

已知a＞0且a≠1，则使方程loga(x-ak)=loga2(x2-a2)有解时的k的取值范围为

（-∞，-1）∪（0，1）

．

Answer 1

分析：由题设条件可知，原方程的解x应满足

(x-ak)2=x2-a2，(1) x-ak＞0，(2) x2-a2＞0．(3)

，当（1），（2）同时成立时，（3）显然成立，因此只需解

(x-ak)2=x2-a2，(1) x-ak＞0，(2)

，再根据这个不等式组的解集并结合对数函数的性质可以求出k的取值范围．

解答：解：由对数函数的性质可知，
原方程的解x应满足

(x-ak)2=x2-a2，(1) x-ak＞0，(2) x2-a2＞0．(3)

当（1），（2）同时成立时，（3）显然成立，
因此只需解

(x-ak)2=x2-a2，(1) x-ak＞0，(2)

由（1）得2kx=a（1+k²）（4）
当k=0时，由a＞0知（4）无解，因而原方程无解．
当k≠0时，（4）的解是x=

a(1+k2)

2k

．(5)
把（5）代入（2），得

1+k2

2k

＞k．
解得：-∞＜k＜-1或0＜k＜1．
综合得，当k在集合（-∞，-1）∪（0，1）内取值时，原方程有解．
故答案为：（-∞，-1）∪（0，1）．

点评：本小题主要考查函数的零点与方程根的关系、对数函数图象与性质的综合应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查方程思想、化归与转化思想．属于中档题．