Question

【题目】已知函数f(x)＝2x－的定义域为(0，1](a为实数).

(1)当a＝1时，求函数y＝f(x)的值域；

(2)求函数y＝f(x)在区间(0，1]上的最大值及最小值，并求出当函数f(x)取得最值时x的值.

Answer 1

【答案】(1) (－∞，1]. (2)见解析

【解析】试题分析：（1）将a的值代入函数解析式，利用定义证明函数的单调性，从而求出函数的值域；

（2）通过对a的讨论，判断出函数在（0，1]上的单调性，求出函数的最值．

试题解析：

(1)当a＝1时，f(x)＝2x－，任取1≥x1＞x2＞0，

则f(x1)－f(x2)＝2(x1－x2)－＝(x1－x2).

∵1≥x1＞x2＞0，∴x1－x2＞0，x1x2＞0.

∴f(x1)＞f(x2)，∴f(x)在(0，1]上单调递增，无最小值，当x＝1时取得最大值1，所以f(x)的值域为(－∞，1].

(2)当a≥0时，y＝f(x)在(0，1]上单调递增，无最小值，当x＝1时取得最大值2－a；

当a＜0时，f(x)＝2x＋，

当≥1，即a∈(－∞，－2]时，y＝f(x)在(0，1]上单调递减，无最大值，当x＝1时取得最小值2－a；

当＜1，即a∈(－2，0)时，y＝f(x)在上单调递减，在

上单调递增，无最大值，当x＝时取得最小值2.