Question

【题目】已知圆，点在圆内，在过点P所作的圆的所有弦中，弦长最小值为.

（1）求实数a的值；

（2）若点M为圆外的动点，过点M向圆C所作的两条切线始终互相垂直，求点M的轨迹方程.

Answer 1

【答案】（1）或4；（2）或.

【解析】

(1)由题点P与圆心的连线与弦垂直,即点P为弦的中点时,过点P的弦长最短.再根据垂径定理求解实数a的值即可.

(2)根据圆的性质可得点M的轨迹为为圆心,以为半径的圆,再根据(1)中的两种情况求解即可.

（1）由圆

得到圆心坐标为

点在圆内,

所以

解得,

由圆的弦的性质可知,点P与圆心的连线与弦垂直,

即点P为弦的中点时,过点P的弦长最短

在过点P所作的圆的所有弦中,弦长最小值为.

所以,

解得或4,（符合）.

（2）由（1）可知,或时,因为过点M向圆C作的两条切线总互相垂直,所以由圆的切线的性质可知两条切线和垂直于切线的两条半径构成的四边形为正方形,

且边长为,对角线长为,

所以,点M的轨迹为为圆心,以为半径的圆

所以点M的轨迹方程为

或.