【题目】设抛物线,
满足
,过点
作抛物线
的切线,切点分别为
.
(1)求证:直线与抛物线
相切;
(2)若点坐标为
,点
在抛物线
的准线上,求点
的坐标;
(3)设点在直线
上运动,直线
是否恒过定点?若恒过定点,求出定点坐标;若不存在,请说明理由;
【答案】(1)证明见详解;(2) (3)是,
【解析】
(1)联立直线方程与抛物线方程,由,即可证明;
(2)根据点在抛物线上解得
,进而写出
点坐标,再根据点
既在直线
上,又在抛物线上,联立方程组即可求得
的坐标;
(3)写出直线的方程,根据过点
和过点
的直线交于点
得到的结论,整理化简直线方程,即可求得
恒过的定点.
(1)联立直线与抛物线方程
,消去
可得
故,因为点
在抛物线上,
故
则直线与抛物线
只有一个交点
又因为,故该直线不与
轴平行,
即证直线与抛物线相切.
(2)因为点在抛物线
上,故可得
,解得
由(1)可知过点的切线方程为
,即
又抛物线的准线方程为,故令
,解得
,
即点的坐标为
.
因为过点的切线方程为
,其过点
故可得,又因为点
满足抛物线方程,
故可得,联立方程组可得
解得(舍去,与
点重合),
,
故点的坐标为
.
(3)由(1)得过点的切线方程为
令,可解得
过点的切线方程为
令,可解的
因为两直线交于点,故可得
整理得 ①
当过两点的直线斜率存在,则设其方程为:
整理得,将①代入可得
故直线方程为
故该直线恒过定点;
当过两点的直线斜率不存在时,
,代入①可得
过此时直线,也经过点
综上所述,直线恒过定点,即证.
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【题目】在直角坐标系中,圆
的参数方程为
为参数),直线
经过点
,且倾斜角为
.
(1)写出直线的参数方程和圆
的标准方程;
(2)设直线与圆
相交于
两点,求
的值.
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【题目】已知如图,直线是抛物线
(
)和圆C:
的公切线,切点(在第一象限)分别为P、Q.F为抛物线的焦点,切线
交抛物线的准线于A,且
.
(1)求切线的方程;
(2)求抛物线的方程.
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【题目】下列命题:
①若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后,则样本的方差不变;
②在残差图中,残差点分布的带状区域的宽度越狭窄,其模型拟合的精度越高;
③设随机变量服从正态分布
,若
,则
;
④对分类变量与
的随机变量
的观测值
来说,
越小,判断“
与
有关系”的把握越大.其中正确的命题序号是( )
A.①②B.①②③C.①③④D.②③④
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【题目】如图, 是边长为3的正方形,
平面
,
平面
,
.
(1)证明:平面平面
;
(2)在上是否存在一点
,使平面
将几何体
分成上下两部分的体积比为
?若存在,求出点
的位置;若不存在,请说明理由.
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【题目】足球是世界普及率最高的运动,我国大力发展校园足球.为了解本地区足球特色学校的发展状况,社会调查小组得到如下统计数据:
年份x | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 |
足球特色学校y(百个) | 0.30 | 0.60 | 1.00 | 1.40 | 1.70 |
(1)根据上表数据,计算y与x的相关系数r,并说明y与x的线性相关性强弱.
(已知:,则认为y与x线性相关性很强;
,则认为y与x线性相关性一般;
,则认为y与x线性相关性较):
(2)求y关于x的线性回归方程,并预测A地区2020年足球特色学校的个数(精确到个).
参考公式和数据:,
,
.
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【题目】已知圆心为的圆,满足下列条件:圆心
位于
轴正半轴上,与直线
相切且被轴
截得的弦长为
,圆
的面积小于13.
(Ⅰ)求圆的标准方程;
(Ⅱ)设过点的直线
与圆
交于不同的两点
,以
为邻边作平行四边形
.是否存在这样的直线
,使得直线
与
恰好平行?如果存在,求出
的方程;如果不存在,请说明理由.
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【题目】(本小题满分14分)如图,四棱锥的底面ABCD 是平行四边形,平面PBD⊥平面 ABCD, PB=PD,
⊥
,
⊥
,
,
分别是
,
的中点,连结
.求证:
(1)∥平面
;
(2)⊥平面
.
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