Question

已知等差数列{a_n}的首项a₁=1，公差d＞0，且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=（n∈N*），S_n=b₁+b₂+…+b_n，求S_n；
（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的S_n，是否存在实数t，使得对任意的n均有：8S_n≤t（a_n+3）成立？若存在，求出t的范围，若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）由题意得（a₁+d）（a₁+13d）=（a₁+4d）2，…2 分
整理得2a₁d=d2．
∵a₁=1，解得（d=0舍），d=2． …4 分
∴a_n=2n-1（n∈N*）． …6 分
（Ⅱ）b_n===（-），
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=[（1-）+（-）+…+（-）]=（1-）=． …10 分
（Ⅲ）假设存在整数t满足8S_n≤t（a_n+3）总成立．
得t≥，而=≤=，即的最大值为，
∴t≥适合条件 …（12分）
分析：（Ⅰ）用首项和公差，表示出等差数列的三项，根据这三项是等比数列的三项，且三项成等比数列，用等比中项的关系写出算式，解出结果．从而可求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）将（Ⅰ）的结果代入，再裂项，从而可求S_n；
（Ⅲ） 假设存在整数t满足8S_n≤t（a_n+3）总成立．得t≥，求出右边的最大值即可．
点评：本题以数列为载体，考查等差数列与等比数列的综合，考查裂项求和，考查分离参数法求解恒成立问题．