Question

已知函数f（x）=ax²+ln（x+1）．
（Ⅰ）当a=

1

4

时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当x∈[0，+∞）时，不等式f（x）≤x恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）求证：(1+

2

2×3

)×(1+

4

3×5

)×(1+

8

5×9

)…(1+

2n

(2n-1+1)(2n+1)

)＜e（其中，n∈N^*，e是自然对数的底数）

Answer 1

分析：（Ⅰ）求导函数，由导数的正负可得函数的单调区间；
（Ⅱ）当x∈[0，+∞）时，不等式f（x）≤x恒成立，等价于ax²+ln（x+1）-x≤0恒成立，设g（x）=ax²+ln（x+1）-x（x≥0），只需g（x）_max≤0即可，分类讨论，可求实数a的取值范围；
（Ⅲ）据（Ⅱ）知当a=0时，ln（x+1）≤x在[0，+∞）上恒成立，利用裂项法，结合对数的运算法则，可证结论

解答：解：（Ⅰ）当a=

1

4

时，f（x）=

1

4

x²+ln（x+1）（x＞-1），
f′（x）=

1

2

x+

1

x+1

=

x2+x+2

2(x+1)

（x＞-1），
∵x＞-1，x²+x+2=(x+

1

2

)2+

7

4

＞0，
∴f′（x）＞0，
∴函数f（x）的单调递增区间为（-1，+∞）．
（Ⅱ）∵当x∈[0，+∞）时，不等式f（x）≤x恒成立，即ax²+ln（x+1）-x≤0恒成立，
设g（x）=ax²+ln（x+1）-x（x≥0），只需g（x）_max≤0即可．
由g′（x）=2ax+

1

x+1

-1=

x[2ax+(2a-1)]

x+1

，
（ⅰ）当a=0时，
g′（x）=-

x

x+1

（x＞-1），
当x＞0时，g′（x）＜0，函数g（x）在（0，+∞）上单调递减，故g（x）≤g（0）=0成立．
（ⅱ）当a＞0时，
由g′（x）=

x[2ax+(2a-1)]

x+1

=0，
∵x∈[0，+∞），
∴x=

1

2a

-1，
①若

1

2a

-1＜0，即a＞

1

2

时，在区间（0，+∞）上，g′（x）＞0，则函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，
g（x）在[0，+∞）上无最大值（或：当x→+∞时，g（x）→+∞），此时不满足条件；
②若

1

2a

-1≥0，即0＜a≤

1

2

时，函数g（x）在（0，

1

2a

-1）上单调递减，在区间（

1

2a

-1，+∞）上单调递增，同样g（x）在[0，+∞）上无最大值，不满足条件．
（ⅲ）当a＜0时，g′（x）=

x[2ax+(2a-1)]

x+1

，
∵x∈[0，+∞），
∴2ax+（2a-1）＜0，
∴g′（x）＜0，故函数g（x）在[0，+∞）上单调递减，故g（x）≤g（0）=0成立．
综上所述，实数a的取值范围是（-∞，0]．
（Ⅲ）证明：据（Ⅱ）知当a=0时，ln（x+1）≤x在[0，+∞）上恒成立，
又

2n

(2n-1+1)(2n+1)

=2（

1

2n-1+1

-

1

2n+1

），
∵ln{（1+

2

2×3

）•（1+

4

3×5

）•（1+

8

5×9

）…[1+

2n

(2n-1+1)(2n+1)

]}
=ln（1+

2

2×3

）+ln（1+

4

3×5

）+ln（1+

8

5×9

）+…+ln[1+

2n

(2n-1+1)(2n+1)

]
＜

2

2×3

+

4

3×5

+

8

5×9

+…+

2n

(2n-1+1)(2n+1)

=2[（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

5

）+（

1

5

-

1

9

）+…+（

1

2n-1+1

-

1

2n+1

）]
=2（

1

2

-

1

2n+1

）＜1，
∵ln{（1+

2

2×3

）•（1+

4

3×5

）•（1+

8

5×9

）…[1+

2n

(2n-1+1)(2n+1)

]}
=ln（1+

2

2×3

）+ln（1+

4

3×5

）+ln（1+

8

5×9

）+…+ln（1+

2n

(2n-1+1)(2n+1)

）
＜

2

2×3

+

4

3×5

+

8

5×9

+…+

2n

(2n-1+1)(2n+1)

=2[（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

5

）+（

1

5

-

1

9

）+…+（

1

2n-1+1

-

1

2n+1

）]
=2（

1

2

-

1

2n+1

）＜1，
∴（1+

2

2×3

）•（1+

4

3×5

）•（1+

8

5×9

）•…•[1+

2n

(2n-1+1)(2n+1)

]＜e．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查恒成立问题，考查不等式的证明，考查分类讨论的数学思想，属于难题．