Question

已知函数f（x）=x²+（lga+2）x+lgb满足f（-1）=-2且对于任意x∈R，恒有f（x）≥2x成立．
（1）求实数a，b的值；
（2）解不等式f（x）＜x+5．

Answer 1

分析：（1）由f（-1）=-2，代入函数解析式得到关于lga与lgb的等式记作①，化简后得到关于a与b的等式记作②，又因为f（x）≥2x恒成立，把f（x）的解析式代入后，令△≤0得到关于lga与lgb的不等式，把①代入后得到关于lgb的不等式，根据平方大于等于0，即可求出b的值，把b的值代入②即可求出a的值；
（2）由（1）求出的a与b的值代入f（x）的解析式中即可确定出f（x）的解析式，然后把f（x）的解析式代入到f（x）＜x+5中，得到关于x的一元二次不等式，求出一元二次不等式的解集即可．

解答：解（1）由f（-1）=-2知，lgb-lga+1=0①，所以

a

b

=10②．
又f（x）≥2x恒成立，f（x）-2x≥0恒成立，
则有x²+x•lga+lgb≥0恒成立，
故△=（lga）²-4lgb≤0，
将①式代入上式得：（lgb）²-2lgb+1≤0，即（lgb-1）²≤0，
故lgb=1即b=10，代入②得，a=100；
（2）由（1）知f（x）=x²+4x+1，f（x）＜x+5，
即x²+4x+1＜x+5，
所以x²+3x-4＜0，
解得-4＜x＜1，
因此不等式的解集为{x|-4＜x＜1}．

点评：此题考查学生掌握不等式恒成立时所满足的条件，以及会求一元二次不等式的解集，是一道中档题．